лишається симметрический многочлен незмінним і при циклічних перестановках? Виявляється, що залишається. Справа в тому, що кожна з циклічних перестановок може бути отримана, якщо виконати одну за одною дві перестановки, що міняють місцями два змінних. Наприклад, якщо спочатку поміняти місцями x і y, а після цього поміняти місцями x і z, то в результаті x перейде в y, y в z, а z в x, тобто вийде циклічна перестановка. Але кожна перестановка двох змінних залишає симметрический многочлен незмінним. Тому він не змінюється, якщо два рази зробити перестановку двох змінних, а значить, не змінюється і при циклічних перестановках:
? (x, y, z) =? (y, z, x) =? (z, x, y,).
Отже, визначення симметрического многочлена від трьох змінних можна сформулювати наступним чином: многочлен від трьох змінних називається симетричним, якщо він не змінюється ні за якої перестановці змінних.
Перестановки, зображені у верхньому рядку наведеної вище діаграми, називаються непарними, а перестановки зазначені в нижньому рядку - парними. Пояснюються ці назви тим, що для отримання перестановок нижнього рядка потрібно провести парне число раз перестановку двох змінних (для циклічних перестановок - 2 разів, а для тотожною - 0 раз), а перестановки верхнього рядка виходять, якщо непарне число раз (а саме, 1 разів) переставити місцями два змінних.
Як же поводяться при різних перестановках антісімметріческіе многочлени? За визначенням, вони змінюють знак при непарних перестановках (тобто при перестановці двох-яких змінних - верхній рядок діаграми). При парних ж перестановках антісімметріческіе многочлени не змінюються: адже якщо ми парне число раз зробимо перестановку двох змінних, то антісімметріческій многочлен парне число раз змінить знак, тобто в результаті він зовсім не зміниться. p> Отже, і симетричні і антісімметріческіе многочлени не змінюються при парних перестановках змінних x, y, z. (При цьому симметрические многочлени не змінюються також і при парних перестановках, а антісімметріческіе за таких перестановках міняють знак.) br/>
парному-симметрические многочлени
Природно розглянути клас многочленів, об'єднуючий симметрические і антісімметріческіе многочлени. Саме, назвемо многочлен парному-симметрическим, якщо він не змінюється ні за якої парною перестановці змінних x 1 , x 2 , x 3 . Як ми бачили, до числа парному-симетричних многочленів відносяться і симетричні і антісімметріческіе многочлени.
Виникає питання, наскільки ж широкий клас многочленів у нас вийшов? Виявляється, розширення не надто велике:
Будь парному-симметрический многочлен є сумою симметрического і антісімметріческого многочленів.
Для доказу...
