візьмемо довільний парному-симметрический многочлен Р (x, y, z) і переставимо в ньому змінні x і y. При цьому вийде, взагалі кажучи, інший многочлен Q (x, y, z). Але якщо зробити перестановку будь-яких двох змінних в многочлене Q (x, y, z), то за умовою знову вийде многочлен Р (x, y, z) (бо дві виконані одна за одною перестановки двох змінних рівносильні парною перестановці змінних x, y, z, а при парному перестановці многочлен Р (x, y, z) не змінюється). З іншого боку, при перестановці в многочлене Р (x, y, z) будь-яких інших двох змінних вийде той же самий многочлен Q (x, y, z), що і при перестановці змінних x і y. p align="justify"> Отже, будь-яка перестановка двох змінних перетворює многочлен Р в Q, а многочлен Q - у Р. Але тоді многочлен
F (x, y, z) = Р (x, y, z) + Q (x, y, z)
не змінюється ні за якої перестановці двох змінних (лише міняються місцями доданки). Тому він симетричний. Многочлен ж
H (x, y, z) = Р (x, y, z) - Q (x, y, z)
антісімметрічен. Але ясно, що
P (x, y, z) = F (x, y, z) + H (x, y, z).
Тим самим доведено, що будь-який парному-симметрический многочлен Р (x, y, z) є сумою симметрического і антісімметріческого многочленів.
Оскільки ми знаємо будову і симетричних і антісімметріческіх многочленів, отримуємо наступний результат:
Будь парному-симметрический многочлен від трьох змінних x, y, z може бути представлений у вигляді деякого многочлена від многочленів,, і T = (xy) (xz) (yz). При цьому многочлен Т входить у вираз не більше ніж у першого ступеня, так як многочлен Т2 = є симетричним і тому може бути виражений через,,. br/>
ЗАСТОСУВАННЯ До елементарної алгебри
Розклад на множники
Доведена раніше основна теорема про антісімметріческіх многочленів дозволяє значно спростити вирішення цілого ряду завдань елементарної алгебри. Так як будь антісімметріческій многочлен від трьох змінних x, y, z ділиться на многочлен
T (x, y, z) = (xy) (xz) (yz),
то ми відразу отримуємо можливість розкласти будь антісімметріческій многочлен ? ( x, y, z) на множники:
? (x, y, z) = T (x, y, z) В· g (x, y, z), ()
де g (x, y, z) - симметрический многочлен. У свою чергу, симметрический многочлен g (x, y, z) також іноді може бути розкладений на множники (його можна виразити через,, і спробувати розкласти на множники вийшов многочлен від,,, якщо це вдасться, то, підставляючи значення,,, ми отримаємо розкладання на множники вихідного многочлена g (x, y, z)). Зауважимо, що для відшукання приватного
g (x, y, z) =
недоцільно робити поділ (В«в стовпчикВ») антісімметріческого многочлена? (x, y, z) на кубічний многочлен T (x,...
