ьому випадку на допомогу дискримінанти симметрический многочлен
= (x1-x2) 2 + (x2-x3) 2 + (x3-x1) 2 =
Ясно, що якщо коріння x1, x2, x3 дійсні, то вираз лише тоді звертається в нуль, коли всі три корені x1, x2, x3 збігаються.
Таким чином,
якщо дискримінант кубічного рівняння x3 + nx2 + px + q = 0 перетворюється на нуль, то при n2-3p0 два кореня цього рівняння збігаються, а третій різниться від них, а при n2-3p = 0 всі три корені рівняння рівні між собою.
Зауважимо в виняток, що якщо в довільний кубічний багаточлен x3 + nx2 + px + q ввести нове невідоме y за формулою x = y-, то цей кубічний многочлен прийме вигляд y3 + Py + Q, тобто в ньому зникне член, містить квадрат невідомого. Таким чином, будь-яке кубічне рівняння може бути зазначеної заміною приведене до вигляду
y3 + Py + Q = 0.
Якщо рівняння вже приведено до такого виду, то вирази для і значно спрощуються:
=-4P3-27Q2, =-6P.
Парні і непарні перестановки.
Визначення симетричних многочленів від трьох змінних x, y, z розглянуте раніше, можна сформулювати у дещо іншій формі. Розглянемо довільну перестановку змінних x, y, z. Таких перестановок існує шість: x може перейти при перестановці в будь-яке з трьох змінних x, y, z, потім у кожному з цих трьох випадків y перейти в якийсь з двох, що залишилися змінних. Це і дає шість можливостей для отримання перестановок (при цьому, якщо вже відомо, у що переходять x і y, то для z залишається тільки одна можливість: воно має перейти в третю, що залишився змінне). Всі ці шість можливих перестановок змінних x, y, z показані на наступній діаграмі:
x y z x y z x y z
В
x z y z y x y x z
x y z x y z x y z
y z ​​y z x z x y
Перші три перестановки (верхній рядок) полягають в тому, що деякі два перемінних міняються місцями, а третє змінне не змінюється. Іншими словами, верхній рядок дає нам всілякі перестановки двох змінних. Перша перестановка в нижньому рядку є тотожною, тобто жодне змінне не змінюється. Дві інші перестановки, зазначені в нижньому рядку, називаються циклічними. Назва це пояснюється тим, що змінні послідовно замінюються одне іншим (наприклад, у другій перестановці нижнього рядка x переходить в y, y переходить в z, а z - у x), тобто ці перестановки можна схематично зобразити у вигляді кільця або, як кажуть математики, циклу:
x x
z y z y
Таким чином, при циклічної перестановки кожне змінне переходить по колу в наступне.
За визначенням, многочлен? (x, y, z) називається симетричним, якщо він не змінюється при перестановках, зображених у верхньому рядку наведеної вище діаграми. Зрозуміло симметрический многочлен (та й взагалі будь многочлен) не змінюється при тотожною перестановці, коли жодне змінне x, y, z не змінює свого значення. p> Виникає питання, чи за...
