тири області, у двох з яких проходять прямі, які перетинають дану пряму, а в двох - прямі, які не перетинають цю пряму і не можуть бути отримані граничним переходом з пересічних - такі прямі називаються розбіжними; паралельні прямі розмежовують пресекающие прямі від розбіжних (на рис. умовно зображені прямі і, проведені через точку А паралельно прямий, прямі і, проведені через точку А і пресекающие пряму, і прямі і, що розходяться з прямою). Кут між прямою, проведеної через точку А паралельно прямий, і перпендикуляром, опущеним з А на, Лобачевський називає В«кутом паралельностіВ» і показує, що функція, що виражає залежність цього кута від довжини а перпендикуляра, може бути (у сучасних позначеннях) записана у вигляді
= 2arctg (1)
де q - деяка постійна. При а0 кут паралельності завжди гострий, причому він прагне до прі, постійна ж q може служити на площині Лобачевського абсолютної одиницею довжини, аналогічної абсолютної одиницею довжини, аналогічної одиниці кута в евклідовому просторі. Лобачевський встановлює також, що суперечать прямі мають загальним перпендикуляром і віддаляються один від одного по обидва боки від нього, а дві паралельні прямі наближаються один до одного і відстані точок однієї з них від іншої прагне 0 при необмеженому видаленні цих точок. Сума кутів трикутника в геометрії Лобачевського завжди менше, і якщо - В«кутовий дефектВ» трикутника, тобто різниця між і сумою його кутів, то площа трикутника S дорівнює
(2)
де q - та ж постійна, що й у формулі (1).
Коло при прагненні його радіуса до нескінченності переходить в системі Лобачевського не в пряму, а в особливого роду криву В«граничного колаВ» - в даний час такі криві називають орициклом. Сфера за тих же обставин переходить не в площину, а в криву поверхню, яку Лобачевський назвав В«граничною сфероюВ», а нині іменують орисфере. Лобачевський зазначає, що на орисфере має місце евклідова геометрія, причому роль прямих на ній грають орициклом. Це дозволяє Лобачевському, спираючись на евклидову тригонометрію на орисфере, вивести тригонометрію на площини в його геометричній системі. Назва В«уявна геометріяВ» підкреслює, що ця геометрія відноситься до евклідової, В«вживаноюВ», за термінологією Лобачевського, як уявні числа, В«уявніВ», за його термінологією, до дійсним. p> Лобачевський відразу ж поставив питання про експериментальну перевірку того, яка геометрія має місце в реальному світі - В«вживанаВ» або В«уявнаВ», для чого він вирішив виміряти суму кутів трикутника, утвореного двома діаметрально протилежними положеннями Землі на її орбіті і Сиріусом і вважаючи один з кутів цього трикутника прямим, а інший - рівним куту паралельності, Лобачевський знайшов, що ця сума відрізняється від на різницю, меншу помилки кутомірних інструментів в його час. В«Після того, - пише Лобачевський, - можна уявити, скільки ця різниця, на якій заснована наша теорія паралельних, виправдовує точність всіх обчислень звичайної ...
