дови геометрії вільної від яких би то не було наочних уявлень, містить окремі цікаві думки, але в цілому була нездійсненною в той час. Розпач Больяи особливо зросло, коли він ознайомився з твором Н.І. Лобачевського "Геометричні дослідження з теорії паралельних ліній" (1840г.). К. Гаусс у своїх листах відгукувався з найбільшою похвалою про роботи Больяи і Н.І. Лобачевського, проте не дав про них публічного відкликання. br/>
.7 Геометрія Рімана
У своїй лекції В«Про гіпотези, що лежать в основі геометріїВ», прочитаної в 1854 році, німецький математик Ріман зауважує, що в основі всіх попередніх досліджень лежить припущення те, що прямі мають нескінченну довжину, яке є, звичайно, вкрай природним. Але що вийде, якщо відкинути це припущення, якщо, наприклад, замість нього припустити, що прямі - суть лінії замкнуті, начебто великих кіл на сфері. Йдеться по суті про відмінність між нескінченністю і безмежністю; це розходження найкраще можна зрозуміти, розглядаючи аналогічне співвідношення в двовимірної області: безмежними є як звичайна площину, так і поверхню сфери, але тільки перша нескінченна, в той час як інша має кінцеве протяг.
Ріман вважає простір лише необмеженим, але не нескінченним; тоді пряма стає замкнутою лінією, на якій точки розташовані як на колі. Якщо змусити тепер знову, як і колись, точку P переміщатися по прямій a весь час в одному напрямку, то вона зрештою знову повернеться до вихідного місця, а промінь AP взагалі не буде мати ніякого граничного положення; не існує взагалі ніякої прямої, що проходить через точку A паралельно прямий a. Таким чином у Рімана будується другий вид неевклідової геометрії в протилежність геометрії Лобачевського. br/>
.8 Геометрія Лобачевського
У мемуарі В«Про основи геометріїВ» (1829) Лобачевський передусім відтворив свій доповідь 1826г.
Він визначає основні поняття геометрії, які не залежать від V постулату, і помітивши, що сума кутів прямолінійного трикутника не може бути, як це має місце у сферичних трикутників, Лобачевський заявляє: В«Ми бачили, що сума кутів прямолінійного трикутника не може бути . Залишається припускати цю суму або. Те й інше може бути прийнято без жодного протиріччя згодом, від чого і відбуваються дві Геометрії: одна, вживана донині по своїй простоті, погоджується з усіма вимірами насправді; інша, уявна, більш загальна і тому скрутна у своїх обчисленнях, допускає можливість залежності ліній від кутів В».
В
Лобачевський вказує, що в В«уявної геометріїВ» сума кутів трикутника всегдаі дві прямі можуть не перетинатися у разі, коливін утворюють з січною кути, у сумі менші. Паралельні прямі визначаються як такі, що не перетинаються, але можуть бути отримані граничним переходом з пересічних. Через кожну точку площини проходять дві прямі, паралельні даній прямій, що у цьому відношенні; ці прямі ділять пучок прямих, що проходять через дану точку, на чо...
