алів, то, напевно, не дуже багато. Однак це не так, що підтверджується наступним властивістю. p>. Дивовижний результат порівняння безлічі Кантора з інтервалом полягає в тому, що потужності цих множин рівні. Два безлічі мають рівний потужністю, якщо існує взаємно однозначна відповідність між точками цих множин. У разі кінцевих множин дане твердження тривіально. Для нескінченних множин, таких як інтервал або безліч Кантора, поняття потужності вимагає обережного поводження. В якості простої ілюстрації сказаного досить помітити, що відрізки [0,1] і [0,2] - рівної потужності, незважаючи на те, що другий інтервал у два рази довше першого. Взаємно однозначна відповідність в цьому випадку задається відображенням f (x) = 2х, де х [0,1]. p> Перш ніж приступити до доказу основної теореми про потужність безлічі Кантора, згадаємо, як представити точку х відрізка [0,1] у системі числення з основою N, N? 2. Розіб'ємо відрізок [0,1] на N рівних інтервалів, кожен довжини 1/N. Пронумеруємо ці інтервали наступним чином: 0,1,2, ..., N - 1. Якщо виявилося, що точка х належить інтервалу з номером 5, то покладемо х1 = 5. Потім розіб'ємо цей інтервал на N нових інтервалів, кожен довжини 1/N2. Пронумеруємо ці інтервали, як і раніше: 0, 1, 2, ..., N-1. Якщо точка х належить новому інтервалу з номером 3, то покладемо х2 = 3. Продовжуючи таким чином, отримаємо нескінченну послідовність, причому кожне значення хп визначає інтервал, що містить х на n-му кроці процесу розбиття. У результаті, число х може бути представлено нескінченної послідовністю:
В
і кожне таке подання відповідає деякій точці відрізка. Коротко його записують таким чином:
х = 0, х1 x2x3 ... (По підставі N)
і називають поданням х в системі числення з основою N або в N-ічной системі. Очевидно, запис числа в десятковій системі числення, якої ми звикли користуватися, є окремим випадком даного визначення. p align="justify"> Теорема: Потужність безлічі Кантора С дорівнює потужності континууму.
Доказ. Нам необхідно встановити взаємно однозначну відповідність між точками з С і точками відрізка [0,1]. Для цього нам буде потрібно розглянути двійкове (по підставі 2), а також троїчну (по підставі 3) представлення точок відрізка [0,1]. ul>
Для того щоб уникнути двозначності у разі, коли точка має два довічних або трійчастий уявлення, ми будемо завжди вибирати те уявлення, яке закінчується усіма одиницями в двійковому випадку і всіма двійками в троїчному.
Помічаємо, що точка потрапляє в безліч Кантора З тоді і тільки тоді, коли в її троїчному поданні відсутні одиниці, тобто коли в ньому присутні тільки нулі і двійки. Тоді шукане відповідність точок з С з точками відрізка [0,1] здійснюється заміною всіх двійок в троїчному поданні х на одиниці. Отримане таким чином двійкове подання визначає деякий дійсне число у. Наприклад, якщо х С є:
х = 0,202202002...
