о модель описується лінійною залежністю:
Y=a + b x
Для розрахунку параметрів моделі використовуємо метод найменших квадратів (МНК), тобто min? еi 2. Розрахунки проводяться за допомогою табличного редактора Excel за наведеними нижче формулами.
Система нормальних рівнянь
n a + b? х =? y
a? х + b? х 2 =? ух
При? x=0 система спроститься і прийме вид
n a =? y
b? х 2 =? ух
Кожне рівняння в цьому випадку вирішується самостійно
a =? y / n
b =? ух /? х 2
Є дані про виручку від реалізації продукції підприємства за 10 років. У таблиці 20 розраховані необхідні для вирішення системи рівнянь суми? у,? х,? ух,? х 2. Роки послідовно позначені як 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10, n=10.
Підставляючи отримані суми в систему рівнянь
a + 36 b=482478
a + 204 b=2134583
отримуємо a=64227,75 і b=- 870,667 х.
Звідси шукане рівняння тренда: y=64227,75 - 870,667 x.
Підставляючи в це рівняння значення х: 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 знаходимо вирівняні (теоретичні) значення y. На рис. 4 зображені графіки фактичних і вирівняних значень. Розраховується прогноз за отриманим рівнянням на найближчий період за умови збереження зміни виручки від реалізації продукції лінійної закономірності.
Друге завдання - оцінити практичну значимість рівняння. Для цього розраховується коефіцієнт кореляції і оцінюється його значимість, яка заснована на зіставленні значення коефіцієнта кореляції з його середньої квадратичною помилкою при n <30 значимість коефіцієнта кореляції перевіряється на основі по t-критерієм Стьюдента. Для цього розраховується фактичне значення критерію і зіставляється з табличним (Г.Л. Громико «Теорія статистики»). Для числа ступенів свободи v=n - 2 і заданого рівня значущості (зазвичай a=0,05).
Якщо t фактичне більше t, r вважається значимим, а зв'язок реальною. Якщо t фактичне менше t табличного, то вважається, що зв'язок між x і y відсутня і значення r, відмінне від нуля, отримано випадково.
Коефіцієнти регресії
b=(yx) ср-уср * хср / (х 2) ср * (x ср) 2
a=уср-b xср
Оцінка коефіцієнтів.
Коефіцієнти кореляції K xy=(yx) ср-хср. * уср. / s х * s у
Критерій Снедекера Fф=K 2 xy * (n - 2)
Коефіцієнт детермінації: r 2 =? (Y x-уср) 2 / =? (Y-уср) 2
Оцінка значущості коефіцієнтів регресії a, b і r xy по t-критерієм Стьюдента.
tb=b / mbta=a / matr=R xy / mr
Випадкові помилки a, b і R xy
m b =?? (У-y x) 2 / (n - 2) /? (Х-хср) 2
m a =?? (У-y x) 2 / (n - 2) *? (Х) 2 / n? (Х-хср) 2
mrxy =? 1 - K 2 xy / (n - 2)
Граничні помилки a, b і R xy
