1. Введення
У сучасному світі велику роль відіграє комп'ютеризація суспільства. Комп'ютери використовуються майже у всіх сферах життєдіяльності, починаючи від простого проведення часу за улюбленою грою і закінчуючи складними спеціалізованими програмними продуктами, що допомагають вченим осягати нові вершини науки. Автоматизація та моделювання різних процесів за допомогою програмних продуктів допомагають не тільки краще і швидше зрозуміти їх суть (наприклад, при навчанні), але проводити різні розрахунки за відносно короткі проміжки часу.
Сучасна обчислювальна техніка дозволяє вирішувати завдання різної складності. При цьому алгоритм вирішення завдань залишається незмінним і на персональних комп'ютерах і на суперкомп'ютерах і при використанні комунікаційних технологій (зокрема при паралельних обчисленнях). Цим і обумовлюється актуальність даної курсової роботи.
Метою даної роботи є моделювання математичного рівняння руху матеріальної точки запропонованими методами, результатом якого буде знаходження рішення заданого рівняння.
Виходячи з поставленої мети, можна виділити наступні завдання: розглянути фізичну і математичну моделі вирішення запропонованого завдання; розробити алгоритм вирішення задачі реалізований у вигляді блок-схеми; написати працездатну програму на мові програмування Pascal.
2. Постановка завдання і визначення кінцевих цілей
Визнач рівняння руху матеріальної точки. Необхідно побудувати фізичну і математичну модель руху.
Побудова моделі руху зводиться до вирішення звичайного диференціального рівняння першого порядку.
Тому необхідно вирішити задачу Коші для диференціального рівняння 1 - го порядку на відрізку [tо=1, tк=2] з кроком h=0.1 і початковою умовою x (tо)=16.
Відповідь має бути отриманий у вигляді таблиці результатів:
tx (1) x (2) t0x0 (1) x0 (2) t1x1 (1) x1 (2) ......... tkxk (1) xk (2)
де: x (1), x (2) - рішення, отримані різними чисельними методами.
Дані таблиці візуалізувати у вигляді графіків.
Щоб вирішити звичайне диференціальне рівняння, необхідно знати значення залежної змінної і (або) її похідних при деяких значеннях незалежної змінної. Якщо ці додаткові умови задаються при одному значенні незалежної змінної, то таке завдання називається завданням з початковими умовами, або задачею Коші.
Задачу Коші можна сформулювати наступним чином.
Нехай дано диференціальне рівняння dx/dt=f (t, x) і початкова умова x (t0)=x0. Потрібно знайти функцію x (t), що задовольняє як вказаною рівнянню, так і початковому умові.
Чисельне рішення задачі Коші зводиться до табулювання шуканої функції.
Графік рішення диференціального рівняння називається інтегральною кривою.
Геометричний зміст завдання:=f (t, x) - тангенс кута нахилу дотичної до графіка рішення в точці (t, x) до осі ОХ, - кутовий коефіцієнт (рис.1).
Малюнок 1. Геометричний зміст задачі Коші
Існування рішення:
Якщо права частина f (t, x) неперервна в деякій області R, яка визначається нерівностями
| t - t0 | lt; a; | x - x0 | lt; b
то існує, щонайменше, одне рішення x=x (t), певне в околиці | t - x0 | lt; h, де h - позитивне число.
Це рішення єдино, якщо в R виконана умова Ліпшиця
де N - деяка постійна (константа Ліпшиця), залежна, в загальному випадку, від a і b. Якщо f (x, y) має обмежену похідну в R, то можна покласти
N=max || прі.
. Розробка фізичної та математичної моделі задачі
При використанні чисельних методів виконується заміна відрізка [t0, T] - області безперервної зміни аргументу t безліччю, що складається з кінцевого числа точок t0 lt; t1 lt;... Lt; tn=T - сіткою.
При цьому ti називають вузлами сітки.
У багатьох методах використовуються рівномірні сітки з кроком
Завдання Коші, певна раніше на безперервному відрізку [t0, T], замінюється її дискретним аналогом - системою рівнянь, вирішуючи яку можна послідовно знайти значення x1, x2, ..., xn - наближені значення функції у вузлах сітки.
(1)
Чисельне рішення задачі Коші широко застосовується в різних галузях науки і техніки, і число розроблених для нього методів досить велике.
У цьому випадку будуть використовуватися однокрокові методи, в яких для знаходження наступної точки на кривій x=f (t) потрібно інформація лише про одне попередньом...
