p> Визначення 19. Відображення f : X В® Y називається (замкнуто, відкрито) паралельно простору F , якщо існує таке топологічний вкладення i : X В® Y ' F простору Х у топологічний твір Y ' F , що (безліч i ( X ) відповідно замкнуто, відкрито в < i> Y ' F і)
f = pr Y i ,
де pr Y : Y ' F В® Y - проекція на співмножник Y .
Теорема 2.8. Нехай відображення f : X В® Y пошарово зв'язне і паралельно простору < i> F . Тоді відображення f зв'язне.
Доказ. Ототожнив Х з i ( X ). Тоді f можна ототожнити з подотображеніем проекції pr Y : Y ' F В® Y . Нехай y ГЋ Y - фіксована точка і Oy - її довільна околиця. Припустимо, що для будь зв'язного округа U ГЌ Oy точки у трубка f -1 ( U ) незв'язна. Покладемо f -1 ( U ) = Про 1 < i> Про 2 , де Про 1 , Про 2 - непорожні діз'юнктние відкриті в f -1 ( U ) множини і U ГЌ Oy - деяка фіксована зв'язкова околиця точки y .
Нехай х ГЋ f -1 ( y ). Тоді х ГЋ Про 1 або х ГЋ Про 2 . Припустимо х ГЋ Про 1 . Знайдеться таке відкрите в Y ' F безліч G 1 , що Про 1 = G 1 X . За визначенням топології, в Y ' F знайдуться околиця V x ГЌ U точки y і відкрите в F безліч W такі, що
х ГЋ = V x ' W ГЌ G 1 .
Так як безліч f -1 ( y ) - зв'язне за умовою, то
Нехай х Вў - довільна точка з ( V x ' W ) Х . Тоді х Вў ГЋ Про 1 і
Отже, Про 1 містить всякий шар f -1 ( y Вў ), де y Вў ГЋ V x (в силу пошарової зв'язності f ).
Таким чином, для кожної точки х ГЋ Про 1 знайдеться околиця V x ГЌ U точки f ( x ), що х ГЋ f -1 ( V x ) ГЌ Про 1 . Тому ...
