фіксуємо деяку таку зв'язну околиця U . Для неї знайдуться непусті відкриті в безлічі Про 1 і Про 2 , що Про 1 ∩ Про 2 = Г† і Про 1 Про 2 = ;. Шар зв'язний і, звідси, по теоремі 2.3, міститься або в Про 1 , або в Про 2 . p> Розглянемо довільну точку w 1 ГЋ Про 1 . Образ цієї точки = х 1 ГЊ U . Шар ГЊ Про 1 Про 2 =, і крапка w 1 належить безлічі Про 1 і шару, тому ГЊ Про 1 (Тому Про 1 ∩ Про 2 = Г†). Оскільки w 1 - довільна точка множини Про 1 , то. Аналогічно,. p> Множини Про 1 і Про 2 діз'юнктние відкриті в і - відкрите відображення. Отже, ( O 1 ) і ( O 2 ) - непорожні діз'юнктние відкриті в U множини і ( O 1 ) ( O 2 ) = < i> U . Звідси околиця U несвязная, що суперечить вибору округа U. Таким чином, відображення зв'язне над точкою х і крапка х довільна, тому проекція є зв'язковим відображенням. €
Слідство 2.5. Якщо простору Х і Y зв'язкові, то і їх твір X ' Y є зв'язковим безліччю.
Доказ. Припустимо протилежне. Нехай безліч X ' Y недоладне, тобто X ' Y = Про 1 Про 2 , де Про 1 і Про 2 - Непорожні діз'юнктние відкриті в X ' Y множини.
Візьмемо довільну точку z ГЋ Про 1 . Образ цієї точки ( z ) = x . Шар ГЊ Про 1 Про 2 зв'язний, і крапка х ; ГЋ Про 1 , отже, ГЊ Про 1 (так як Про 1 Про 2 = Г†). У силу того, що точка z - довільна, отримаємо. Аналогічно,. Безлічі Про 1 і Про 2 - непорожні діз'юнктние відкриті в X ' Y , і відображення - відкрите, отже, множини і - непорожні діз'юнктние відкриті в Y і = Y . Це суперечить зв'язності Y . p> Доказ можна отримати простіше. Так як простір Х зв'язне, то проекція: X ' Y В® Y є зв'язковим і безперервним відображенням (по теоремі 2.7 і лемі 2.2). Простір Y зв'язне. Тоді, по теоремі 2.4, X ' Y - зв'язне безліч. ? ...
