.
Отже, безліч є околицею точки y і O 1 = f -1 (< i> V 1 ). Аналогічно встановлюється, що O 2 = f -1 ( V 2 ), де V 2 непорожнє відкрите в Y безліч. Звідки, U = V 1 V 2 , що суперечить зв'язності U . Значить, відображення f зв'язне над точкою y . €
Приклад. Якщо відображення f : X В® Y зв'язне над точкою y , то шар f -1 ( y ) необов'язково є зв'язковим безліччю. Наприклад, нехай f = pr Y : X ' Y В® Y - проекція на Y , де Х = Y ; = [0; 1] (рис. 8). Розглянемо точку y = ГЋ Y і шар f -1 ( y ) над точкою y . Нехай точка де х =, y =. Тоді шар f -1 ( y ) { z } - недоладне безліч. Відображення f = pr Y при цьому залишиться зв'язковим, оскільки для будь зв'язного округа U точки y трубка f -1 ( U ) - лінійно связна, отже, трубка f -1 ( U ) - связна.
2.5. Пошарове твір відображень
Визначення 20. Нехай f : X В® Y і g : Z ; В® Y - безперервні відображення. пошаровим твором f ' g цих відображень називається відображення h : Т В® Y , де
В
і
.
З даного визначення випливає сенс назви такого визначення:
В
для будь-якої точки y ГЋ Y .
Таким чином, в силу слідства 2.5, стає очевидною наступна теорема:
Теорема 2.9. Нехай відображення f : X В® Y і g : Z В® Y пошарово зв'язкові. Тоді твір h = f ' g також є пошарово зв'язковим відображенням.
Лемма 2.4. Нехай f, g : X В® Y безперервні відображення в хаусдорфово простір Y. Тоді безліч Т = { x ГЋ X : f ( x ) = g ( x )} є замкнутим у Х.
Доказ. Доведемо, що безліч Х Т відкрите, тобто для будь-якої точки x ГЋ X знайдеться така околиця Ох точки х , що Ох ГЊ Х Т .
Візьмемо довільну точку x ГЋ X Т . Тоді f ( x ) = y 1 ГЋ Y , g ( x ) = y 2 ГЋ ...
