align="justify"> Група, в Якій операція комутатівна, тобто назівається комутатівною або Абелеві. (на честь норвезького математика Нільса Хенріка Абеля (1802-1829)), Який Вивчай комутатівні групи).
Визначення. Група, в Якій всі елементи ОСНОВНОЇ множини є ступенями одного елемента, тобто є результатами k-кратного! Застосування операции (k=0,1,2, ...), назівається ціклічною. Цей єдиний елемент назівається твірнім елементом ціклічної групи. Ціклічна група з твірнім елементом позначається так: і є Абелеві Груп вигляд або в залежності від того, яка група розглядається - мультіплікатівна або адитивна.
Кількість елементів групи назівають ее порядком.
прикладом.
.- Абелева група ціліх чисел, нейтральний елемент 0, оберненім до елемента є.
.- Абелева група раціональних чисел, нейтральний елемент 1, оберненім до елемента є.
. Множини невіродженіх матриць порядку відносно операции множення матриць є некомутатівною Груп.
. Множини коренів -го степеня з 1 є ціклічною Груп.
) Алгебраїчні Структури з двома бінарнімі операціямі:
кільця и поля
Визначення. Кільцем назівається НЕПОРОЖНЯ множини, на Якій візначені две бінарні алгебраїчні операція + (Додавання) і (множення) так, что віконуються следующие умови (аксіомі кільця):
К1.- Абелева група:
1) операція + асоціатівна:
;
2) в множіні існує нульовий елемент:
;
3) для шкірного елемента існує протилежних елемент:
.
4) операція + комутатівна:
.
К2.- Півгрупа:
5) операція асоціатівна:
;
К3. Операція (множення) Дистрибутивних зліва и праворуч відносно операции + (Додавання):
6);
;
Кільце позначається або просто.
Алгебраїчна структура назівається адитивності Груп кільця, а - его мультіплікатівною півгрупою.
Визначення. Кільце назівається комутатівнім, если операція (множення) є комутатівною, тобто.
(На Відміну Від груп, комутатівне кільце НЕ Прийнято назіваті Абелеві).
Означення кільця можна сформулюваті ще й так:
Визначення. Кільцем назівається множини з двома операціямі + і., Яка відносно + є Груп, а відносно є півгрупою и Дистрибутивних відносно +.
Приклад.- Кільце ціліх чисел.
Визначення. Полем назівається НЕПОРОЖНЯ множини, на Якій візначені две бінарні алгебраїчні операція + (Додавання) і (множення) так, что віконуються следующие умови (аксіомі поля):
1) операція + асоціатівна на:
;
2) в множіні існує нульовий елемент:
;
3) для шкірного елемента існує протилежних елемент:
.
4) операція + комутатівна на:
.
5) операція асоціатівна на
:;
6) операція Дистрибутивних зліва и праворуч відносно операции +:
;
7) операція комутатівна на:
;
8) у множіні існує одінічній елемент:
9) для шкірного ненульового елемента існує в оберненій до него елемент:
.
Означення поля можна сформулюваті ще й так:
Визначення.
Полем назівається комутатівне кільце, елементи которого, відмінні від нульового елемента утворюють групу відносно операции.
Приклад.
.- Поле раціональних чисел.
.- Поле дійсніх чисел.
.- Поле комплексних чисел.
3.7 Ізоморфізмі та гомоморфізмі алгебраїчніх структур
Визначення. Нехай - алгебраїчна операція, задана на множіні, - алгебраїчна операція, задана на множіні, - відображення множини в множини. Кажуть, що відображення зберігає алгебраїчну операцію, если для будь-якіх елементів справедливо
