br />
.1 Одномірні і багатовимірні гармонійні функції
Гармонійна функція часу, періодична функція однієї змінної t, представлена ??у речовій тригонометричної формі
характеризується відомими параметрами:
кругової тимчасової частотної або лінійної частотою f;
амплітудами квадратурних складових А і В або ампліту¬дой гармоніки;
початковою фазою гармоніки;
тимчасовим періодом гармоніки
Аналогічну структуру і параметри має формула просторової гармонійної функції - періодичної функції відстані вздовж прямої лінії. Наприклад, гармонійна функція відстані уздовж осі х має вигляд:
де к - кругова просторова частота, пов'язана з просторовим періодом? співвідношенням
Такі ж функції відстані можна визначити уздовж осей у і z:
Тривимірна просторова гармоніка описується формулою
Просторові гармоніки (2.5) використовуються при спектральному поданні статичних полів, описуваних функціями тільки просторових координат. Для динамічних полів необхідні гармонійні функції чотирьох змінних, просторово-часові гармоніки. При цьому бажана така формула чотиривимірної гармоніки, з якої як приватні види виходили б і просторова (2.5), і тимчасова (2.1) гармоніки. Така функція може бути визначена в чотиривимірному просторі- часу, якщо в ньому ввести ортогональну просторово- тимчасову систему
У гармонійному спектральному аналізі широко використовується комплексна Експоненціальна форма подання гармонійних функцій. Перехід від тригонометричної форми до експоненційної виконується за допомогою формул Ейлера. Наприклад, для тимчасової гармоніки (2.1) використовують формули
Просторова і просторово-часова гармоніки також записуються в експоненційної комплексній формі. Використовуючи формули Ейлера
1.2 Властивості поля, описуваного просторово-часової гармонікою
Подання функції, яка описує фізичне поле, сумою просторово-часових гармонік, з фізичної точки зору еквівалентно поданням самого фізичного поля суперпозицією (накладенням у просторі та часі) елементарних полів, описуваних цими гармоніками. У зв'язку з цим корисно мати ясне уявлення про структуру і динаміку зміни елементарного поля.
Наочне уявлення про просторову структуру поля дають поверхні рівних значень фізичного параметра U, що характеризує поле. У гармонійному полі поверхню рівних значень - це поверхня рівної фази.
Плоскі равнофазовие поверхні поля рухаються з тією ж швидкістю, але в напрямку, що збігається з напрямком вектора просторової частоти. Поле з періодичною структурою, що описується функцією
,
називається хвильовим, поверхні рівної фази в ньому - фронтами хвиль, а швидкість Уф - фазовою швидкістю хвиль. Таким чином, формули
,
описують поле біжить плоскою гармонійної хвилі, причому у формі (2.16) рух хвилі має напрямок, що збігається з напрямком вектора просторової частоти к.
Через особливу інформативності вектора до відносно властивостей поля плоскої біжучої гармонійної хвилі він отримав назву «хвильовий вектор». Ця назва ми найчастіше будемо використовувати надалі.
.3 Спектральне представлення детермінованих полів
За аналогією з процесами, які можуть володіти або дискретним, або суцільним частотним спектром, поле так само може бути з дискретним або суцільним просторово-частотним спектром. У теорії хвильових полів використовується термін «частотно-хвильової спектр» поля як синонім спектра просторово-частотного. Таку назву спектра співзвучна з назвою «хвильовий вектор
Отже, поле з дискретним частотно-хвильовим спектром - це поле, утворене суперпозицією кінцевого числа полів біжать гармонійних плоских хвиль різних часових та просторових частот. Математично таке поле описується кінцевою сумою просторово-часових гармонік різних частот і амплітуд і початкових фаз (комплексних амплітуд)
Хвильовий вектор до можна міняти за величиною і напрямком, вносячи зміни в будь-яку з його складових, тому в сумі (2.18) можлива більш детальна структуризація, що враховує зміни окремих складових вектора до
Процес із суцільним частотним спектром представляють у вигляді межі суми нескінченно великого числа гармонік нескінченно малих амплітуд, частот...
