и яких безперервно заповнюють деякий інтервал на частотній осі. Межа такої суми називається інтегралом Фур'є. Він і є математичною формою спектрального представлення процесу із суцільним частотним спектром, тобто має місце співвідношення:
Інша функція однієї змінної - функція відстані уздовж осі х, що має суцільний просторовий спектр, представима таким же одноразовим інтегралом Фур'є, але по змінній кх - по просторової частоті
Спектральне представлення довільного поля U (х, у, z, t) як функції чотирьох змінних може бути отримано граничним переходом від кінцевої суми (2.19) до нескінченної, тобто до кратному інтегралу Фур'є. Однак цей шлях громіздкий і менш наочний в порівнянні з формальним методом, використовуваним в спектральної теорії полів. Він полягає в послідовному застосуванні одноразового інтегрального перетворення Фур'є до функції U (x, y, z, t) і її проміжним (параметричним) спектрами
Кратний інтеграл Фур'є (2.27) є математичною формою спектрального уявлення детермінованого поля U (x, y, z, t) із суцільним частотно-хвильовим спектром. Цей спектр описується функцією F (kx, ky, kz,?) Яка визначає амплітуду і початкову фазу просторово-часової гармоніки з будь-яким поєднанням чотирьох складових частот.
Компактний вид громіздкою формули (2.27) досягається бескоордінатной векторної формою запису
Фізичний сенс спектрального уявлення детермінованого фізичного поля кратним інтегралом Фур'є (2.28) очевидна: поле U (t, r) довільного виду представлено у вигляді суперпозиції нескінченного числа полів біжать гармонійних плоских хвиль всіх тимчасових і просторових частот.
Із загальних властивостей інтеграла Фур'є випливає, що при наявності інтегрального перетворення (2.28) існує перетворення, зворотне йому. Отже, частотно-хвильової спектр поля U (t, r) визначається співвідношенням
де - елемент обсягу, виражений через складові вектора г.
1.4 Випадкові гармонійні функції
При гармонійному спектральному поданні випадкових функцій як елементарних використовують випадкові гармоніки. Випадкова гармоніка - це функція, ансамбль реалізацій якої являє собою безліч гармонійних функцій однієї і тієї ж частоти, що відрізняються один від одного випадковим чином амплітудою і початковою фазою коливань.
Математична формула, що описує випадкову гармонійну функцію часу, має вигляд, аналогічний формулі (2.1) для гармоніки детермінованою:
проте в цій формулі амплітудні множники А і В - випадкові величини. При цьому умови формула (2.30) повністю відповідає визначенню випадкової гармоніки, так як її амплітуда і початкова фаза є випадковими величинами, мінливими від реалізації до реалізації випадковим чином. Зауважимо, що випадкові амплітудні множники А, В, не залежать від часу і координат простору. Це дозволяє за допомогою зазначених функцій описувати стаціонарні випадкові процеси і стаціонарно-однорідні випадкові поля. Правда, випадкові величини А і В повинні для цього володіти додатковими статистичними властивостями
1.5 Спектральне представлення випадкового процесу із суцільним частотним спектром
Розглянемо спочатку питання про спектральному поданні випадкової функції із суцільним спектром на прикладі функції однієї змінної - випадкового процесу? (/). Отримаємо математичну форму такого подання граничним переходом від процесу з дискретним частотним спектром. З цією метою створимо зручну математичну конструкцію, що дозволяє наочно ущільнювати на частотній осі гармоніки різних частот і шукати межа їх суми.
Граничне співвідношення (2.37) носить назву інтеграла Фур'є-Стілтьєса.
Більш зручною для аналізу і для зіставлення зі звичним нам інтегралом Фур'є-Рімана є форма запису інтеграла Фур'є-Стілтьєса, коли підсумовування ведеться по частотах, а не за номерами частотних інтервалів. Щоб перейти в (2.37) до підсумовування по частотах, введемо сумарну комплексну амплітуду гармонік, що належать інтервалам, як функцію верхньої граничної частоти останнього в сумі інтервалу.
Межа (2.37) як межа суми збільшень функції на частотах зі.
Процедура граничного переходу не зміниться зі збільшенням верхньої граничної частоти, в тому числі при, тому спектральне подання випадкового процесу межею нескінченної суми випадкових гармонік всіх частот або інтегралом Фур'є Стилт'єсу приймає остаточний вигляд
де - випадкова комплексна амплітуда гармоніки частотою.
Зауважим...
