й Георг Кантор (1845 - 1918 рр.), Александров Павло Сергійович (1896 - 1982 рр.).
З погляду топології бублик і кухоль одне і теж. Стискаючи і розтягуючи шматок гуми можна перейти від однієї з цих фігур до іншої. А ось бублик і куля - вже будуть різними об'єктами: щоб зробити отвір, треба розірвати баранку.
Серед букв російського алфавіту є топологічно однакові фігури
А-Д, Г-С, С-П, 3-Е, Т-У.
Стрічка Мебіуса - теж топологічний об'єкт. Це - найпростіша неоріентіруемая поверхню з краєм, одностороння в звичайному тривимірному евклідовому просторі R?. Потрапити з однієї точки цієї поверхні в будь-яку іншу можна, не перетинаючи краю.
3. Стрічка Мебіуса, її властивості
Як зробити стрічку Мебіуса?
Візьмемо прямокутну паперову смужку, перекрутити на півоберта один її кінець і приклеїмо його до іншого кінця тієї ж смужки. Цю модель і називають: «стрічка Мебіуса». Володіє вона цікавими властивостями. Для того, щоб дізнатися про них, мною проведено кілька експериментів, в яких постарався відповісти на питання:
. Якщо почати зафарбовувати стрічку Мебіуса з одного боку, не переходячи через край, то яка частина стрічки виявиться зафарбованою?
. Що вийде, якщо розрізати стрічку Мебіуса уздовж посередині?
. Що вийде, якщо розрізати стрічку Мебіуса уздовж, відступивши третину від краю?
. Що вийде, якщо перекрутити стрічку двічі, а потім розрізати вздовж посередині?
І ось що у мене вийшло:
. У стрічки Мебіуса всього одна сторона. Переконаємося в цьому: візьмемо кисть і фарбу, почнемо поступово забарвлювати стрічку в який-небудь колір, починаючи з будь-якого місця. Після закінчення стрічка у нас повністю забарвлена. У книзі «Що таке математика?» Ріхард Курант і Герберт Роббінс писали: «Якщо хто-небудь надумає розфарбувати« тільки одну »строну поверхні мёбіусовой стрічки, нехай краще відразу занурить її у відро з фарбою».
. Спробуємо розрізати звичайну циліндричну поверхню і лист Мебіуса по середній лінії
«Звичайне» (циліндричне) кільце розпалося на два шматки, а стрічка Мебіуса перетвориться на одне перекручене кільце, причому воно перекручено двічі і вдвічі довше, але вже. Ще дивніше те, що отримане кільце вже двостороннє.
. Якщо розрізу? ть стрічку Мебіуса, відступаючи від краю приблизно на третину її ширини, то виходять дві стрічки, одна - більш тонка стрічка Мебіуса, інша - довга стрічка з двома півобертами (таку стрічку називають афганської).
. При повороті на 360 градусів отримаємо двосторонню поверхню. Для зафарбовування її неодмінно потрібно перевернути на іншу сторону. При розрізуванні уздовж посередині отримаємо два кільця, зчеплених між собою.
Цікаві були й інші експерименти з цим дивовижним геометричним явищем.
Приготуємо лист Мебіуса з досить широкою смужки і разрежем його так, щоб лінія розрізу весь час йшла вдвічі ближче до лівого краю смужки, ніж до правого (лінія розрізу обійде лист Мебіуса двічі).
Отримуємо два кільця: одне - лист Мебіуса, інше - перекручене на 360 градусів.
Знову візьмемо паперову смужку; один її кінець перекрутити на повний оборот (на 360 градусів), приклеїмо до іншого кінця і разрежем вийшла модель по середній лінії. Отримуємо два однакових, зчеплених кільця, кожне з яких повернуто на 360 градусів.
Спробуємо пройти в смужці щілину і просмикнемо крізь неї один кінець смужки. Склеїмо як на малюнку і разрежем.
Отримали дві окремі стрічки Мебіуса.
А тепер спробуємо склеїти звичайне кільце і стрічку Мебіуса під прямим кутом і разрежем по пунктирною лінії.
Який результат? Вийшла квадратна рамка!
Можна говорити про наступних властивостях стрічки Мебіуса:
Однобічність - топологічний властивість стрічки Мебіуса, характерне тільки для неї.
Безперервність - з топологічної точки зору коло не відрізняється від квадрата, тому що їх легко перетворити один в інший, не порушуючи безперервність. На аркуші Мебіуса будь-яка точка може бути з'єднана з іншою точкою. Розривів немає - безперервність повна.
Зв'язність - щоб розділити квадрат на дві частини, нам буде потрібно тільки один розріз. Але от щоб розполовинити кільце, потрібно вже два розрізи. Що стосується листа Мебіуса, то кількість зв'язків змінюється в залежності від зміни кількості о...
