XШ районна науково-практична конференція учнів
секція математики
Лист Мебіуса
Джавадова Сабіна
Школа № 41, 10 клас
г.Новокузнецк, 2009. <В
Введення
Розповідають, що відкрити свій "лист Мебіуса" допомогла служниця сшівшая неправильно кінці стрічки.
Як би там не було, але в 1858 Лейпцизький професор серпня Фердинант Мебіус, учень знаменитого К.Ф.Гаусса, астроном і геометр, послав у Паризьку академію наук роботу, включає відомості про це аркуші. Сім років він чекав розгляду своєї роботи, і. не дочекавшись, опублікував її результатів в 1858 році.
У листа Мебіуса всього одна сторона, і це вразило німецьких професорів, і тому що кожна поверхня має дві сторони.
Лист Мебіуса
В В
Розповідають, що відкрити свій "лист Мебіуса" допомогла служниця сшівшая неправильно кінці стрічки.
Як би там не було, але в 1858 Лейпцизький вчений серпня Фердинант Мебіус, учень "короля математиків "К.Ф.Гаусса і багатьох інших з тих, кому математика зобов'язана своїм розвитком, послав у Паризьку академію роботу, що включає відомості про цьому аркуші. Сім років він чекав розгляду своєї роботи, і. не дочекавшись, опублікував її результати.
Чим же цікавий цей лист? А тим, що у листа Мебіуса - всього одна сторона. Ми ж звикли до того, що у всякої поверхні, з якою ми маємо справу (аркуш паперу, велосипедна або волейбольна камера) - дві сторони.
Стрічка Мебіуса володіє цікавими властивостями. Якщо спробувати розрізати стрічку навпіл по лінії, рівновіддаленою від країв, замість двох стрічок Мебіуса вийде одна довга двостороння (рис.1) (удвічі більше закручена, ніж стрічка Мебіуса) стрічка, яку фокусники називають "афганська стрічка". Якщо тепер цю стрічку розрізати посередині, вийдуть дві намотані один на одного (рис.2). Інші цікаві комбінації стрічок можуть бути отримані зі стрічок Мебіуса з двома або більш півобертами в них. Наприклад, якщо розрізати стрічку з трьома півобертами, то вийде стрічка, завита у вузол трилисника (рис.3). Розріз стрічки Мебіуса з додатковими оборотами дає несподівані фігури, названі парадромнимі кільцями.
Щоб зробити аркуш Мебіуса треба взяти досить витягнуту паперову смужку і з'єднати кінці смужки, попередньо перевернувши один з них. Перебуваючи на поверхні листа Мебіуса, можна було б йти по ній вічно. p> Спробуйте пофарбувати одну сторону листа Мебіуса - шматок за шматком, не переходячи через край стрічки. І що ж? Ви закрасите весь лист Мебіуса! "Якщо хто-небудь спробує розфарбувати" тільки одну "сторону поверхні стрічки Мебіуса, нехай краще відразу занурить її всю у відро з фарбою ", - пишуть Ріхард Курант і Герберт Роббінс в найвищому книзі "Що таке математика".
Несподіванка номер три: межа у листа Мебіуса одна, а не складається з двох частин, як у звичайного кільця.
Властивість однобічності листа Мебіуса було використано в техніці: якщо у пасової передачі ремінь зробити у вигляді листа Мебіуса, то його поверхня зношується вдвічі повільніше, ніж у звичайного кільця. Це дає відчутну економію (рис. 4). p> Лист Мебіуса один з об'єктів в області математики під назвою топологія (по-іншому "геометрія положення "). Дивовижні властивості листа Мебіуса-он має один край, одну сторону, - не пов'язані з його положенням у просторі, з поняттями відстані, кута і проте мають цілком геометричний характер. Вивченням таких властивостей займається топологія. Виявляється, властивості такого типу, незважаючи на гадану їх незвичність, пов'язані саме з найбільш абстрактними математичними дисциплінами, саме з алгеброю і теорією функцій.
Якщо на внутрішню сторону звичайного кільця посадити павука, а на зовнішню-муху і дозволити їм повзати як завгодно, заборонивши лише перелазити через краї кільця, то павук не зможе дістатися до мухи, чи не так? А якщо їх обох посадити на лист Мебіуса, то бідна муха буде з'їдена, якщо, звичайно, павук повзає швидше!
У топології вивчаються властивості фігур і тіл, які не змінюються при їх безперервних деформаціях.
Експерименти для всіх. Візьмемо стрічку, розділимо кожну її сторону на три однакові смужки і склеїмо, перекрутивши один раз лист. Будемо різати по пунктирною лінії. Якби стрічка була перекручена, то спочатку ми б відрізали одне кільце, а потім ще два інших. Всього три кільця, кожне тієї довжини, що і початкове, але друге меншою ширини. Але у нас лист Мебіуса. І, не відриваючи ножиць від паперу, розріжемо пунктирними лініями відразу і отримаємо два зчеплених кільця (мал. 5). Одне з них удвічі довше вихідного і перекручено два рази.
Друге - лист Мебіуса, ширина якого втричі менше, ніж у вихідного.
Лист Мебіуса-ні орієнтована поверхню (поверхн...
