бертів стрічки: якщо один оборот - двусвязен і т.д.
Орієнтованість - властивість, відсутнє у листа Мебіуса. Так, якби людина змогла промандрували по всіх вигинів листа Мебіуса, то коли він повернувся б у вихідну точку, він перетворився б на своє дзеркальне відображення.
Таким чином, стрічка Мебіуса - найпростіша одностороння поверхню з краєм. Потрапити з однієї точки цієї поверхні в будь-яку іншу можна, не перетинаючи краю.
Стрічку Мебіуса іноді називають прабатьком символу нескінченності?, оскільки перебуваючи на поверхні стрічки Мебіуса, можна було б йти по ній вічно. Правда, це не відповідає дійсності, адже символ? використовувався для позначення нескінченності протягом двох століть до відкриття стрічки Мебіуса.
Інша схоже безліч - речова проективна площину. Якщо проколоти отвір у речовій проективної площині, тоді те, що залишиться, буде листом Мебіуса. З іншого боку, якщо приклеїти диск до стрічки Мебіуса, поєднуючи їх межі, то результатом буде проективна площину. Щоб візуалізувати це, корисно деформувати стрічку Мебіуса так, щоб її кордон став звичайним колом. Таку фігуру називають «пересічена кришка». Пересічена кришка може також означати ту саму фігуру з приклеєним диском, тобто занурення проективної площини в тривимірний простір R 3.
4. Застосування стрічки Мебіуса в геометрії
Смужка для створення стрічки Мебіуса повинна бути вузькою і довгою, з можливо великим відношенням довжини до ширини. Скажімо, з квадратного аркушу стрічки Мебіуса не зробиш.
Це вірно, але з одним застереженням, яку легко недооцінити: обмеження на розмір мають значення лише в тому випадку, коли папір забороняється «м'яти». Якщо ж м'яти папір не забороняє, то стрічку Мебіуса можна склеїти не тільки з квадрата, але з прямокутника будь-яких розмірів - склеювані сторони можуть бути у скільки завгодно разів довше несклеивающиеся. Зробити це можна так (рис. 1-3). Складемо прямокутний лист в гармошку, перегнув його парне число разів. Потім з цієї гармошки, як з товстої паперової смужки, склеим стрічку Мебіуса, вставляючи відповідні частини гармошки один в одного. На малюнку видно, що аркуш паперу, з якого склеєна стрічка Мебіуса, виявився зім'ятим.
Припустимо, що паперову смужку можна згинати, але не м'яти. Приймемо ширину смужки за одиницю. Ясно, що чим довше смужка, тим легше склеїти з неї стрічку Мебіуса. Таким чином, існує таке число?, Що із смужки довжини більше? стрічку Мебіуса склеїти можна, а із смужки довжини менше? - не можна, Що буде для смужки, довжина якої в точності дорівнює?, нас не цікавить. Дуже хотілося б знайти це?.
Дивно, але рішення цієї задачі досі не відомо.
розгортати поверхню
Легко зрозуміти, що заборона м'яти папір значно обмежує можливість маніпулювати паперовим листом. Наприклад, аркуш паперу, що не пом'явши, можна згорнути в трубку або скласти «без складки» навпіл, але не можна скласти вчетверо. З аркуша паперу, що не зім'явши його, можна зробити конус («фунтик»), але не можна зробити сферу або навіть її шматочок: спробуйте притиснути аркуш паперу до глобуса, і обов'язково з'являться складки. Як видно, аркушу паперу можна надати далеко не всяку форму. Поверхні, які можна зробити з аркуша паперу, згинаючи, але не мнучи його, математики називають розгортуваний. Приклади розгортаються поверхонь показані на рис. 4. Звичайно, в математиці розгортаються поверхні визначаються не так: в математичному мові відсутні слова «папір», «м'яти», «зробити».
топологічний неоріентіруемий тривимірний Мебіус
Раз вимога не м'яти папір так важливо, подивимося, який його математичний сенс.
Через кожну точку A розгортається поверхні, не лежить на її кордоні, проходить лежачий на поверхні відрізок, не кінчається в A. Інакше кажучи, в кожній точці до розгортається поверхні (вигнутому, але не зім'ятим листом паперу) можна прикласти спицю так, щоб вона прилягала до поверхні на деякому протязі по обидві сторони від взятої точки. Такий відрізок називається твірною поверхнею. Домовимося, що ця назва відноситься тільки до відрізків максимальної довжини, цілком лежачим на поверхні, тобто, до відрізків, не містити в б? льшіх відрізках з цією властивістю.
Якщо через точку А, не лежить на кордоні поверхні, проходять дві різні утворюють, причому А не є кінцем жодної з них, то досить маленький шматок поверхні, навколишній А, є плоским. У такому випадку точку А ми називатимемо плоскою.
Якщо точка А, що не лежить на кордоні поверхні, є кінцем який-небудь твірної, скажімо а, то околиця точки ...
