иходить таблиця значень:
x? ? y? ?
Ця таблиця зазвичай виходить як підсумок будь-яких експериментів, в яких (незалежна величина) задається експериментатором, а виходить в результаті досвіду. Тому ці значення будемо називати емпіричними чи досвідченими значеннями.
Між величинами x і y існує функціональна залежність, але її аналітичний вид зазвичай невідомий, тому виникає практично важливе завдання - знайти емпіричну формулу
(2.1.1)
(де - параметри), значення якої при можливо мало відрізнялися б від досвідчених значень.
Звичайно вказують клас функцій (наприклад, безліч лінійних, статечних, показових і т.п.) з якого вибирається функція, і далі визначаються найкращі значення параметрів.
Якщо в емпіричну формулу (2.1.1) підставити вихідні, то отримаємо теоретичні значення, де.
Різниці називаються відхиленнями і являють собою відстані по вертикалі від точок до графіка емпіричну функції.
Відповідно до методу найменших квадратів найкращими коефіцієнтами вважаються ті, для яких сума квадратів відхилень знайденою емпіричної функції від заданих значень функції
(2.1.2)
буде мінімальною.
Пояснимо геометричний зміст методу найменших квадра тов.
Кожна пара чисел з вихідної таблиці визначає точку на площині. Використовуючи формулу (2.1.1) при різних значеннях коефіцієнтів можна побудувати ряд кривих, які є графіками функції (2.1.1). Завдання полягає у визначенні коефіцієнтів таким чином, щоб сума квадратів відстаней по вертикалі від точок до графіка функції (2.1.1) була найменшою.
Побудова емпіричної формули складається з двох етапів: з'ясування загального вигляду цієї формули і визначення її найкращих параметрів.
Якщо невідомий характер залежності між даними величинами x і y, то вид емпіричної залежності є довільним. Перевага віддається простим формулам, що володіє хорошою точністю. Вдалий вибір емпіричної формули значною мірою залежить від знань дослідника в предметної області, використовуючи які він може вказати клас функцій з теоретичних міркувань. Велике значення має зображення отриманих даних в декартових або в спеціальних системах координат (полулогарифмической, логарифмічною і т.д.). За положенням точок можна приблизно вгадати загальний вид залежності шляхом встановлення подібності між побудованим графіком і зразками відомих кривих.
Визначення найкращих коефіцієнтів входять до емпіричну формулу виробляють добре відомими аналітичними методами.
Для того, щоб знайти набір коефіцієнтів, які доставляють мінімум функції S, обумовленою формулою (2.1.2), використовуємо необхідне умова екстремуму функції декількох змінних - рівність нулю приватних похідних. У результаті одержимо нормальну систему для визначення коефіцієнтів:
(2.1.3)
Таким чином, перебування коефіцієнтів зводиться до вирішення системи (2.1.3).
Ця система спрощується, якщо емпірична формула (2.1.1) лінійна щодо параметрів, тоді система (2.1.3) - буде лінійною.
Конкретний вид системи (2.1.3) залежить від того, з якого класу емпіричних формул ми шукаємо залежність (2.1.1). У разі лінійної залежності система (2.1.3) прийме вигляд:
(2.1.4)
Ця лінійна система може бути вирішена будь-яким відомим методом (методом Гаусса, простих ітерацій, формулами Крамера).
У разі квадратичної залежності система (2.1.3) прийме вигляд:
(2.1.5)
2.2 Лінеаризація експоненційної залежності
У ряді випадків в якості емпіричної формули беруть функцію в яку невизначені коефіцієнти входять нелінійно. При цьому іноді завдання вдається линеаризовать, тобто звести до лінійної. До числа таких залежностей відноситься Експоненціальна залежність
(2.2.1)
де і невизначені коефіцієнти.
Лінеаризація досягається шляхом логарифмування рівності (2.2.1), після чого одержуємо співвідношення
(2.2.2)
Позначимо і відповідно через і, тоді залежність (2.2.1) може бути записана у вигляді, що дозволяє застосувати формули (2.1.4) із заміною на і на.
2.3 Елементи теорії кореляції
Графік відновленої функціональної залежності за результатами вимірювань називається кривою регресії. Для перевірки згоди побудованої кривої регресії з результатами експерименту зазвичай вводять такі числові характеристики: коефіцієнт кореляції (лінійна залежність), кореляційне відношення і коефіцієнт детермінованості. При цьому результати зазвичай групують і представляють у формі кореляційної таблиці. У кожній клітині цієї таблиці наводяться чисельності тих пар, компоненти яких потрапляють у відповідні інтервали угруп...
