для виродженого рівня. Хвильову функцію системи представимо у вигляді лінійної комбінації. Тоді відповідне секулярне рівняння прийме вигляд:
(1.9)
Звідси отримаємо енергію нашої системи:
(1.10)
Рівень Фермі в такій системі розщеплюється. Це випливає з того, що значення інтегралів перекриття Оі 1 і Оі 2 приймають різні значення, внаслідок цього відбувається перекриття зон. Формула для енергії рівня Фермі спроститься, якщо ми будемо вважати, що на ньому виконується умова:
(1.11)
і прийме вигляд:
(1.12)
Залишилось обчислити. Очевидно, що ймовірність перескоку електрона з одного ланцюжка на іншу визначається відстанню між атомами цих ланцюжків і швидко убуває з його зростанням. Тому змоделюємо в такому вигляді:
(1.13)
Значення цього виразу визначається чисельно в програмі. Імпульси k і p на рівні Фермі визначаються з умови рівності енергій (1.11). Значення інтегралів перекриття бралися з [1], [2].
Глава 2. Провідність двустеночной вуглецевої нанотрубки
Як було показано в [3], у спрощеній моделі одностеночний трубки, що представляє собою лінійну ланцюжок атомів, сила протікає через неї струму визначається виразом:
, (2.1)
де U - напруга, прикладена до кінців трубки, L - її довжина, П„ - час релаксації електронів, n - їх концентрація. Після простих перетворень отримаємо:
(2.2)
Так як ми розглядаємо ідеальну систему, то розсіяння електронів при русі може відбуватися тільки на контактах. Тоді час релаксації електронів можна визначити так:
(2.3)
Тоді формула придбає простий вигляд:
(2.4)
Видно, що електричне опір одностеночний нанотрубки має унікальну властивість - воно не залежить від геометричних розмірів і визначається величиною - квантом опору (формула Ландауера [4], [5]). Такий опір називається балістичним. p> Розглянемо тепер провідність двустеночной нанотрубки.
У попередньому розділі було показано, що гамільтоніан системи з двох лінійних регулярних ланцюжків атомів з урахуванням їх взаємодії має вигляд:
(2.5)
Власними хвильовими функціями такого гамильтониана будуть функції:
, (2.6)
Хвильову функцію електрона, влітає в першу ланцюжок, представимо у вигляді лінійної комбінації цих хвильових функцій:
(2.7)
Розглянемо тепер еволюцію цієї хвильової функції в часі. За правилами квантової механіки, отримаємо:
, (2.8)
де під О” для зручності позначено | О“ kp |. p> Враховуючи ортогональность функцій ОЁ 1 і ОЁ 2 , які для електронів мають вигляд блоховскіх функцій, слідуючи [6], отримаємо для середньої швидкості першого електрона на рівні Фермі:
(2.9)
або, з урахуванням того, що
(2.10)
Тобто, швидкість електрона на рівні Фермі є суперпозицією двох доданків, в яких присутні швидкості на рівні Фермі для першої ізольованою ланцюжка і для другий. Аналогічно, для другого ланцюжка:
(2.11)
Розглянемо два граничних випадку, коли і.
У першому випадку усередненням замінюємо і на 1/2:
(2.12)
У другому випадку,:
(2.13)
(2.14)
Відразу видно, що під другому випадку у виразі для часу релаксації електронів не буде ніяких змін, не зміниться вигляд формули (2.2), а значить, і формула Ландауера НЕ зміниться.
Розглянемо докладніше перший випадок. Провідність системи з двох паралельних одностінкових трубок визначається виразом:
В
(2.15)
Провідність двустеночной трубки:
В
(2.16)
Видно, що і в цьому випадку формула Ландауера залишається справедливою.
Висновки
Метою даної роботи було дослідження електронного спектру і провідності в двустеночних нанотрубках. З допомогою спрощеної моделі, що представляє собою дві паралельні регулярні ланцюжка атомів, було показано, що в таких нанотрубках відбувається перекриття зон, що призводить до зміни положення рівня Фермі, а також його розщеплення. Величина цього розщеплення була визначена чисельно в програмі, лістинг якої наведено в додатку. При реалістичних значеннях параметрів розщеплення виявилося досить малим, порядку 10 -5 еВ. При цьому змінюється і швидкість електронів на рівні Фермі. Очевидно, що в такій ідеальній системі розсіювання електронів має відбуватися на контактах, тому час релаксації буде залежати тільки від середньої швидкості руху електронів. Було проаналізовано вира...
