от.
Малюнок 1 - Амплітудно-частотні характеристики: а) ФНЧ; б) ФВЧ
Для опису ФНЧ і ФВЧ вводиться поняття частоти зрізу? 0 - частоти сигналу, на якій спостерігається зменшення потужності в 2 рази. Коефіцієнт передачі фільтра при цьому зменшується в разів у порівнянні з коефіцієнтом передачі К 0 на нульовий (для ФНЧ) або на нескінченній (для ФВЧ) частоті.
Розглянуті активні RC-фільтри відносять до класу лінійних електричних кіл із зосередженими і постійними в часі параметрами, передавальна функція яких має вигляд:
, (1)
фільтр високий частота сигнал
де
U вх (p), U вх (p) - зображення по Лапласа вхідного і вихідного напруг;
p =? + j?- Комплексна змінна;
ai, bi - речові коефіцієнти, залежні від параметрів ланцюга; К - масштабний множник (коефіцієнт посилення).
Ступінь полінома знаменника n визначає порядок фільтра. Реальні амплітудно-частотні характеристики краще (більш близькі до ідеальних) для фільтрів більш високого порядку. Однак підвищення порядку пов'язано з ускладненням схем і більш високою вартістю. Таким чином, один з аспектів розробки фільтрів пов'язаний з отриманням реалізованої характеристики, апроксимуючої з деякою заданою ступенем точності ідеальну характеристику при найменших витратах.
Якщо у формулі (1) всі коефіцієнти а дорівнюють нулю, за винятком а0, то передавальна функція являє собою відношення постійного числа до полиному. У цьому випадку фільтр є всеполюсним або поліноміальним, оскільки його передавальна функція володіє тим властивістю, що всі її полюси кінцеві, а кінцевих нулів не містить. Нуль визначається значенням змінної p, для якої передатна функція дорівнює нулю, а полюс - це значення змінної p, для якої передавальна функція має нескінченну значення.
Для ФНЧ першого порядку передатна функція представляється у вигляді:
, (2)
де С - постійне число, а N (p) - поліном першого або нульової ступеня.
Для ФНЧ другого порядку передатна функція представляється у вигляді:
, (3)
де В і С - постійні числа, а N (p) - поліном другого чи меншій мірі.
Для парного порядку n gt; 2 звичайна каскадна схема містить n/2 ланок другого порядку, кожне з передавальної функцією типу (3). Якщо ж порядок n gt; 2 є непарним, то схема містить (nl)/2 ланок другого порядку з передавальними функціями типу (3) і одна ланка першого порядку з передавальної функцією типу (2).
Передавальну функцію фільтра верхніх частот з частотою зрізу? с можна отримати з передавальної функції нормованого фільтра нижніх частот (що має? с, рівну 1 рад/с) за допомогою заміни змінної p на? с/p. Отже, функція фільтрів верхніх частот Баттерворта і Чебишева буде містити наступні співмножники другого порядку:
, (4)
де? с - частота зрізу, а В і С являють собою наведені в додатку А нормовані коефіцієнти ланки фільтра нижніх частот другого порядку. При непарному порядку присутній також ланка першого порядку, що володіє передавальної функцією виду:
. (5)
Коефіцієнт посилення фільтра верхніх частот являє собою значення його передавальної функції при нескінченному значенні змінної s. Отже, для ланок другого і першого порядків ФВЧ, описуваних відповідно рівняннями (4) і (5), коефіцієнт підсилення ланки дорівнює К.
B процесі проектування параметри передавальної функції фільтра можуть вибиратися і оптимізуватися за різними критеріями. Критеріями найчастіше виступають рівномірність АЧХ і коливальність перехідної характеристики фільтра h (t). Найбільш відомі методики розрахунку, засновані на використанні алгебраїчних поліномів з відомими властивостями, запропонованих у свій час математиками Бесселем, Баттерворта і Чебишева. Фільтри з використанням цих поліномів отримали відповідні імена.
На малюнку 2 для порівняння показані АЧХ фільтрів нижніх частот різних типів.
Малюнок 2 - Порівняльні АЧХ фільтрів низької частоти
1.2 Фільтр Баттерворта
Передавальна функція фільтра нижніх частот Баттерворта n -го порядку характеризується виразом:
. (6)
Амплітудно-частотна характеристика фільтра Баттерворта має такі властивості:
) При будь-якому порядку n значення АЧХ
