й нескінченним числом джерел.
Таблиця 1 - Чотири приватних випадку розподілів числа зайнятих каналів
Найпростіший вхідний потокПрімітівний вхідний потокБез потерьС потеряміБез потерьС потеряміРаспределеніе ПуассонаРаспределеніе ЕрлангаРаспределеніе БернулліРаспределеніе Енгсета
Отже, не виключена ймовірність того, що в якийсь невеликий інтервал часу, сумірний з тривалістю обслуговування, в систему надійде нескінченне число заявок. Для обслуговування такого потоку без втрат доведеться організовувати в системі нескінченне число каналів. При цьому стан системи буде визначатися розподілом Пуассона, в якому змінюється від нуля до нескінченності.
Математичне сподівання і дисперсія числа зайнятих каналів, ймовірність заняття яких розподілена за законом Пуассона, рівні відповідно (1) і (2):
(1)
(2)
де - інтенсивність навантаження, обумовлена ??по числу викликів в одиницю часу і тривалості обслуговування, виміряної в тих же одиницях.
Саме цією величиною визначається надходить навантаження в Ерланген (3):
(3)
У реальних системах число каналів обмежена, тому обслуговування найпростішого потоку каналів відбуватиметься з втратами, величина яких залежить від співвідношення між числом каналів () і надходить навантаженням (). Стани такої системи описується розподілом Ерланга, яке іноді називають усіченим розподілом Пуассона. Стан системи змінюється від нуля до числа каналів. Найбільш важливим у розподілі Ерланга є стан, тобто стан, коли зайняті всі канали. Зрозуміло, що саме в цьому стані виникають втрати (4).
(4)
Останнє позначення є загальноприйнятим позначенням формули Ерланга. У зв'язку з труднощами практичних розрахунків за цією формулою (наявність суми в знаменнику), вона табулювати в різних довідниках і задачниках. Це в першу чергу таблиці Пальма, за якими при заданому навантаженні і числі ліній знаходять, тобто ймовірність зайнятості всіх ліній в пучку. Розподіл Ерланга застосовується для систем, тобто коли число джерел навантаження велике (в ідеалі нескінченно або), а тривалість обслуговування підпорядковується експоненціальним розподілом.
Математичне сподівання і дисперсія числа зайнятих каналів, ймовірність заняття яких розподілена за законом Ерланга, дорівнюють відповідно (5) і (6):
; (5)
, (6)
де - ймовірність зайнятості всіх ліній в пучку з ліній.
Типовим прикладом примітивного потоку є вихідний потік викликів від абонентів АТС. Інтенсивність цього потоку лінійно залежить від числа вільних джерел викликів, тобто від числа телефонних апаратів, не зайнятих розмовами. Вона визначається співвідношенням (7):
, (7)
де - інтенсивність одного джерела у вільному стані (дзв/у.е.в.);
- загальне число джерел;
- число вільних джерел;
- як скрізь у даному розділі - число зайнятих джерел.
При примітивному потоці система зможе обслуговувати абонентів без втрат тільки, якщо число каналів між учрежденческой і міської АТС дорівнює або більше, ніж число абонентів, тобто якщо, що, як правило, економічно не доцільно. Ймовірності станів системи будуть визначатися розподілом Бернуллі, а стан системи змінюється від нуля до загального числа абонентів.
У формулі Бернуллі величина визначає ймовірність одного успішного випробування і дорівнює (8):
, (8)
а - число сполучень із по (9):
(9)
Математичне сподівання і дисперсія числа зайнятих ліній, ймовірність заняття яких описуються розподілом Бернуллі, відповідно рівні (1 0) і (11):
(1 0)
. (11)
У реальних ситуаціях число каналів менше числа абонентів АТС (тобто) і випадки відсутності вільних каналів для чергового виклику цілком можливі. При цьому ймовірності станів системи визначаються розподілом Енгсета (усіченим розподілом Бернуллі).
Відповідно до формулами таблиці 1 і вихідними даними за допомогою програмного продукту Microsoft Excel проведемо розрахунок розподілів ймовірностей заняття каналів і побудуємо їх графіки. Результати розрахунків представлені в таблиці 2.
Таблиця 2 - Результати розрахунків для розподілів Пуассона, Ерланга, Бернуллі і Енгсета
