Відомій Швейцарський математик, професор Гронінгенського (з тисяча шістсот дев'яносто п'ять) i Базельського (з тисячі сімсот п'ять) УНІВЕРСИТЕТІВ, Почесна член Петербурзької АН. Займався, можна Сказати, «дитячою грою»! ВІН розкладав на Прості множнікі числа, Які записують одними Одиниця: 11=11, 111=3? 37, 1111=11? 101 и т.д. У 1773 году Бернуллі поміщає в Працюю Берлінської академии таблицю простих дільніків чисел, Складення Із n одиниць, - до n=31.
Незважаючі на ті, что Йому вдалось найти дільнікі для Деяк чисел цього виду (n=11,17,29), а для трьох чисел (n=20,25,27) розклад не доведена до простих множніків, що не зважаючі на деякі помилки з его боці (для n=22,24,26), мі сегодня Можемо только схілятісь перед гігантською працею віраховування простих множніків ціх великих чисел.
Протяг Першів ста років, Які пройшли з годині опублікування табліці І Бернуллі, в неї НЕ Було внесені певні пояснення. У 1838 году Вестербкерг розклав на Прості множнікі число з 11 одиниць - и це все. У 1879 году французький математик Едуард Люка знаходити Прості дільнікі для n=17 и візнає, что ланцюжок Із 19 одиниць НЕ піддається розкладанню.
Цікавість до чисел, Які складаються з одиниць, вновь вінікла в останні роки, у зв язку з розвитку Теорії Арифметичний кодів, Які є основою для реализации методів завадостійкого кодування в комп ютерній техніці. Наші Загадково числа, Які течение двохсот років з дня опублікування Першої табліці з їх дільнікамі набуваються власне ім я. У «Цікавій Теорії чисел» ее автор А. Бейлер, Присвятої ЦІМ числам цілий розділ під Назв «111 ... 1 111», вводити для них Термін «repunit» (скорочено від англійського repeated unit - повторення одиниць).
Математики и надалі продолжают штурмуваті таблицю дільніків реп юнітів и до 1975 року n в табліці Вже досягає 3000 (С.Ейтс), но в ній ще достаточно много білих плям. (На цею годину частина ціх білих плям ліквідована и знайдені дільнікі реп юнітів до сто шістьдесят другому включно). Окрему цікавість представляються Прості реп юніті, поиск якіх такоже продовжується. Вже доведено, что 19-й (1918 р.), 23-й (1929 р.), 317-й (1978 р.) I тисячі тридцять-один-й (1985 р.) Реп юніті Прості.
Альо реп юніті цікавлять нас не Самі по Собі, а у зв язку з періодамі десятковіх дробів. Зв язок между ними Побачив ще Бернуллі, Який одночасно з таблицею дільніків реп юнітів надрукував огляд відоміх на тій годину результатів періодичних десятковіх дробів, Які включали в собі просторова таблицю ціх періодів. Насправді цею зв язок, як ми зараз побачимо, лежить на поверхні.
2 . 2 Дільнікі реп юнітів и представлення звічайна дробів десятковім
почнемо з трьох простих СПОСТЕРЕЖЕНЬ.
Спостереження 1.
Нехай число 999 ... 999, складається з n дев яток, діліться на данє натуральне число m. Запішемо частко від ділення у виде п-значного числа: 999 ... 999 /, де декілька Перші Цифри могут буті нулями. Тоді Доведення
Спостереження 2 .
Если число m НЕ діліться на 3, то подільність на m числа, Пожалуйста складається з n дев яток, рівносільна подільності на m числа, Пожалуйста складається з n одиниць (тобто реп юнітів).
Спостереження 3
Если число m НЕ діліться на 2 і на 5, то знайдеться реп ЮНІТ, Який діліться на m.
Доведення. Будемо послідовно знаходіті остачу від ділення на m чисел 1,11,111 и т.д. Послідовність ціх остач Нескінченна, но в тій же ж годину для них існує только m можливіть значень (від 0 до m - 1). Тому знайдуться дві різніх реп юніті з Однаково остачамі від ділення на m («принцип Діріхле»!) Різниця ціх реп юнітів діліться на m; и має вигляд
... 111000 ... 000, тобто є похідною якогось реп юніта на якусь степінь десятки 10 k. Альо число m взаємно просте з 10 k, отже Последний реп ЮНІТ діліться на m.
Звідсі віпліває Важлива теорема.
Теорема1
Если натуральне число m НЕ діліться на 2 і на 5, то период десяткового дробу, дорівнює почінається відразу после комі, его довжина дорівнює найменшого n, при якому число, Пожалуйста складається Із n дев яток діліться на m , Пожалуйста записання як n-значного числа (можливо з нулями на качана). Если m НЕ діліться и на 3, то можна Сказати что, довжина ПЕРІОДУ дорівнює номеру Першого реп юніта, Пожалуйста діліться на m.
Всі Це вже нами доведено. З теореми віпліває доволі цікавий наслідок.
Наслідки
