нням подібності, або суперпозицією перетворення подібності і інверсії. Тому вони на відміну від плоских конформних відображень не знайшли особливих додатків. Широке застосування плоских конформних відображень в різних галузях науки пояснюється, наприклад, наступним. Багато диференціальні рівняння в приватних похідних та їх системи при заміні одних змінних на інші, пов'язані між собою за допомогою функцій, що здійснюють конформне відображення, або зовсім не змінюються, або спрощуються. Таким є, наприклад, рівняння Лапласа
Якщо в цьому рівнянні змінні x, y замінити на нові змінні u,? , Що є дійсною і уявною частиною деякої аналітичної функції f (z), то рівняння не зміниться. На підставі цього багато завдань для рівняння Лапласа в областях складної структури зводяться за допомогою конформного відображення w=f (z)=u + i? до аналогічних завданням в простіших областях (колі, півплощини і т.д.), в яких рішення задачі небудь відомо, або знаходиться простіше. Після цього рішення задачі в вихідної області виходить шляхом зворотного заміни змінних.
Приклади конформного відображення.
· Найпростіший приклад - перетворення подібності lt; # 14 src= doc_zip7.jpg / gt ;, і їх образів, має місце співвідношення
,
де - позитивне число, зване коефіцієнтом подібності. (кожна гометія є подобою)
Рис. 4
Подібні фігури на малюнку мають однакові кольори.
· Інверсія lt; # 120 src= doc_zip14.jpg / gt;
Рис. 5
· Будь голоморфна функція lt; # 14 src= doc_zip15.jpg / gt; і комплексно дифференцируемая в кожній точці.
Рис. 6
· Стереографічна проекція lt; # justify gt; Стереографічна проекція - центральна проекція, що відображає двовимірну сферу (з одного виколоти точкою) на площину.
Рис. 7
lt; # 216 src= doc_zip18.jpg / gt;
Рис. 8 Карта поверхні Землі в стереографической проекції
Історія.
Дослідженням конформних відображень займалися Л. Ейлер lt; # justify gt; Застосування.
Конформне відображення мають численні застосування. Так, наприклад, вони застосовуються в картографії при побудові географічних карт.
Кожна географічна карта зображує частина заміною поверхні на площині (аркуші паперу). При такому зображенні обриси материків, морів і океанів піддаються більшому або меншому спотворенню. Легко переконається, що неможливо розправити і накласти на площину без розтягування і стиснення, без розривів і складок шматок кульової поверхні (наприклад, частина зламаного кульки для настільного тенісу).
Чорт. 1
У сили цієї ж причини без спотворення пропорцій, а отже, і без порушення форми, неможливо зобразити частина земної поверхні (останню можна прийняти за кульову) на площині, тобто побудувати карту. Виявляється, однак, що можливо будувати карту, не змінюючи величини кутів між різними лініями земної поверхні.
Нехай потрібно побудувати карту північної півкулі, на якій всі кути між різними напрямами на земній поверхні изобразятся в натуральну величину. Щоб наочно уявити собі, як це можна зробити, уявімо великий земної глобус з якого-небудь прозорого матеріалу, наприклад, скла, зафарбований непрозорими фарбами так, що лише контури материків, країн і морів в північній півкулі, а також сітка меридіанів і паралелей залишаються непокриті фарбою, і отже, прозорими. Крім того, можна залишити незафарбованими сторони (криволінійні) якого-небудь кута PQR з вершиною в будь-якій точці північної півкулі. Якщо в юному полюсі глобуса упаяна маленька, але яскрава електрична лампочка, а перед глобусом перпендикулярно до його осі поміщений екран, то в темній кімнаті ми побачимо на екрані контурну карту північної півкулі (рисунок 1).
Можна довести геометрично, що на такій карті (вона називається картою стереографической проекції) всі кути між будь-якими лініями на глобусі в північній півкулі изобразятся в натуральну величину. Зокрема, у натуральну величину відобразиться кут PQR.
Якщо джерело світла (лампочку), звідки виходять проектують промені, помістити в північному полюсі глобуса, то цим же шляхом можна отримати карту південної півкулі також із збереженням натуральної величини кутів. Кожна з отриманих згаданим шляхом карт представляє деяку плоску фігуру: якщо її піддати конформному відображенню, вона перейде в нову фігуру, яку також можна розглядати як географічну карту. Так як при конформному відображенні кути не змінюються, то на новій карті будуть зберігатися натуральні величини кутів між напрямками на земній поверхні. На рисунок 2 зліва зображена карта Гренландії в стереографической проекції, а праворуч - карт...
