еходячи в (4.1) до межі при, отримаємо нерівність Бесселя
. (4.3)
Повертаючись до формулою (3.3), зауважимо, що із збільшенням п величина зменшується, залишаючись неотрицательной. Отже, монотонно спадаючий неотрицательная послідовність сходиться. з (3.3) отримаємо її межа
. (4.4)
Якщо, де - часткова сума ряду Фур'є (3.2), то говорять, що ряд (3.2) сходиться в середньому до функції. У цьому випадку з (4.4) слід
(4.5)
Співвідношення (4.5) називається рівністю Парсеваля. Це аналог формули (1.4) для квадрата модуля вектора.
Зауваження . З збіжності ряду в середньому, взагалі кажучи, не слід його збіжність у звичайному сенсі слова.
Якщо рівність Парсеваля виконується для всіх функцій з безлічі, або, що те ж саме, для будь-якої функції із ряд Фур'є сходиться в середньому до цієї функції, то ортогональна система називається замкнутою, а співвідношення (4.5) - рівнянням замкнутості. Замкнутими системами, наприклад, є системи функцій з вправи в В§ 3. Доказ цього факту виходить за рамки цього посібники. p> Властивості замкнутих систем такі:
1. Якщо безперервна функція ортогональна всіх функцій замкнутої системи, то вона тотожно дорівнює нулю. Дійсно, в цьому випадку всі коефіцієнти Фур'є дорівнюють нулю. З (4.5) випливає, що, і тоді (див. В§ 2, властивість норми 2)
Таким чином, до замкнутої системи функцій не можна приєднати ніякої нової функції, відмінній від тотожного нуля, яка була б ортогональна до всіх. Це властивість замкнутої системи функцій називають її повнотою. p> Слідство . Якщо дві безперервні функції і мають одні й ті ж коефіцієнти Фур'є, то вони тотожно збігаються. Доказ цього твердження випливає знайти самостійно. p> 2. Нехай і - коефіцієнти Фур'є функцій і відносно замкнутої ортогональної системи. Тоді
(4.6)
де, як і раніше,
Співвідношення (4.6) називається узагальненим рівністю Парсеваля. Це аналог формули (1.3) для скалярного твори векторів.
Так як для функцій коефіцієнти Фур'є, мабуть, рівні, в силу замкнутості системи з (4.5) слід
В
Віднімаючи почленно ці рівності і використовуючи тотожності
В
отримаємо рівність (4.6).
3. Якщо - замкнута ортогональна система функцій, то
, (4.7)
тобто інтеграл від функції можна отримати почленного інтеграції її ряду Фур'є. Для доказу досить застосувати формулу (4.6) до функцій і
В
і врахувати, що в цьому випадку. Тоді
В
Зазначимо, що справедливість формули (4.7) встановлена ​​навіть без припущення про збіжність ряду Фур'є. p> Вправа. Довести, що якщо ряд Фур'є сходиться рівномірно на проміжку [ а , b ] до функції, то він сходиться в середньому до цієї функції. b>
В§ 5. Тригонометричний ряд Фур'є на проміжку [- L , L ]
Система функцій
(5.1)
ортогональна на проміжку [- L , L ] (див. вправу в В§ 3).
Показати, що слід самостійно.
Кожній функції, кусково-неперервної на проміжку [- L , L ], зіставимо її ряд Фур'є:
. (5.2)
Коефіцієнти Фур'є, відповідно до (3.1), визначаться формулами
В
В
(5.3)
Ряд (5.2) називається тригонометричним рядом Фур'є.
Як зазначалося в В§ 4, система функцій (5.1) є замкнутою. Тому для будь-якої кусково-неперервної функції її ряд Фур'є (5.2) сходиться в середньому до цієї функції. Рівність Парсеваля (4.5) в прийнятих тепер позначеннях прийме вигляд
. (5.4)
Ліва частина останнього рівності, як легко бачити, являє собою подвоєне середнє значення квадрата функції на проміжку [- L , L ].
Часткові суми
В
тригонометричного ряду (5.2) називаються тригонометричними поліномами Фур'є. З формули (3.3) випливає, що середня квадратична похибка, що виникає при заміні функції її тригонометричним поліномом Фур'є,
. (5.5)
В§ 6. Збіжність тригонометричного ряду Фур'є. Теорема Діріхле
Функція називається кусково-монотонною на проміжку, якщо цей проміжок можна розділити на кінцеве число частин, на кожній з яких функція монотонна. p> Якщо функція кусково-неперервна і кусково-монотонна на проміжку, то говорять, що на цьому проміжку вона задовольняє умовами Діріхле. Для таких функцій справедлива приймається нами без докази наступна теорема.
Теорема Діріхле. Якщо функція задовольняє умовами Діріхле на проміжку [- L , L ], то її ряд Фур'є (5.2) сходиться в усіх точках цього проміжку. При цьому у внутрішніх точках ...
