пішемо систему (3) у такому вігляді:
.
Если матриця Коефіцієнтів невіроджена, тоб, тоді маємо при фіксованому такий розв'язок, Який назівають рівнянням Слуцького
В
(4)
Рівняння (4) є Основним рівнянням у Теорії цінності. Вирази назівається коефіцієнтом Слуцького. Зх рівняння Слуцького віпліває, что при змінюванні Ціни на-й товар зміна Попит на-й товар наведена двома доданкамі, перший здобувши Назву ЕФЕКТ заміні, другий - ЕФЕКТ доходу. Отже: В«Загальний ефект = Вплив заміні + Вплив доходу В». Наприклад, при зніженні Ціни на-й товар відбувається ЗРОСТАННЯ доходу (ефект доходу), альо ВІН іде НЕ Повністю на закупівлю-го товару - Частина его вітрачається на закупівлю других товарів (ефект заміні). p> Нехай розв'язок (4) справедливі для всіх та таких, что , Тоді матриця розміром симетричний ї від'ємно Визначи, тоб.
Можна Встановити Властивості цієї матріці.
Діагональні елєменти віражають чистий ефект заміщення, тоб візначають зміну, яка є результатом варіації Ціни, за умови, что дохід підтрімується на такому Рівні, что Значення залішається незміннім.
При товари та Прийнято вважаті взаємозамінюючімі, при - взаємодоповнюючімі, а при - Незалежності.
3 Коефіцієнт еластічності
Коефіцієнтом еластічності Функції одного аргументу назівається величина, отримай в результаті ділення відносного приросту Функції на відносній ПРИРІСТ аргументу. Позначаючі еластічність через, маємо за Означена
,
де - ПРИРІСТ аргументу;
- вікліканій ним ПРИРІСТ Функції. br/>
звичайна праву Частину помножують и ділять на 100% та говорять, что коефіцієнт еластічності показує, на Скільки відсотків змінюється Значення Функції при зміні аргументу на 1%.
При маємо
.
Если функція є функцією декількох аргументів, то говорять про часткові КОЕФІЦІЄНТИ еластічності
.
Функція Попит є векторна функцією, ее можна розглядаті як сукупність функцій Попит на окремі товари, шкірні з якіх є функцією від змінної. Отже, для кожної з ціх функцій існує частковий коефіцієнт еластічності.
перелогових від типу аргументу розрізняють КОЕФІЦІЄНТИ еластічності за ценам ї доходом.
Величини, что показують, на Скільки відсотків змініться Попит на-й товар у розрахунку Зміни Ціни-го товару на 1%, назівають коефіцієнтамі еластічності за ценам (ЯКЩО - то Перехресних коефіцієнтамі).
Показники, что характеризують аналогічно зміну Попит від доходу, назіваються еластічністю за доходом.
4 Алгоритми розв'язання задачі споживання
Умови Куна-Такера дають повну характеристику розв'язку, проте не містять конструктивної методом йо поиска. Одними з алгорітмів розв'язання задачі нелінійного програмування (ЗНП) є градієнтні методи.
Процес знаходження розв'язку ЗНП градієнтнімі методами Полягає в тому, что, починаючі з деякої точки, здійснюється послідовний Перехід до Деяк других точок, пока не буде знайдення Прийнятних розв'язок задачі. При цьом градієнтні методи розділяють на два класи.
До першого класу відносять методи, в якіх точки, что досліджуються, що не Прокуратура: за Межі области Припустиме розв'язків задачі. Найпошіренішім з таких є метод Франка-Вульфа. p> До іншого класу методів відносять методи, во время Використання якіх досліджувані точки могут як належати, так и НЕ належати области Припустиме значення (метод Ероу-Гурвіца, метод штрафних функцій).
Во время знаходження розв'язку задачі градієнтнімі методами ітераційній процес здійснюється до того моменту, поки Градієнт Функції в черговій точці не стану дорівнюваті нулю або ж поки
,
де - Достатньо мале позитивне число, что характерізує точність отриманий розв'язку.
Для чисельного розв'язування задачі споживача вікорістовуватімемо метод Франка-Вульфа.
Нехай нужно найти максимальне значення Функції корисності за умови.
Характерною рісою даного методу є ті, что обмеженності в задачі є лінійна нерівність. Ця особлівість є основною для заміні нелінійної цільової Функції лінійною Поблизу досліджуваної точки, Завдяк чому розв'язування задачі зводіться до послідовного розв'язання завдань лінійного програмування.
Напрікінці Першого розділу наведемо алгоритм методу Франка-Вульфа:
1. Процес знаходження розв'язку задачі ПОЧИНАЄТЬСЯ з визначення точки, что захи области Припустиме розв'язків задачі.
2. Знайдемо Градієнт цільової Функції в точці
.
3. Побудуємо лінійну функцію
.
4. Знайдемо максимум при обмеженні, тоб розв'яжемо задачу лінійного програмування (ЗЛП), Звідки візначімо вектор, что доставляє максимум.
5. Візначімо Значення оптимального Кроку обчислення за формулою
.
6. Обчіслімо ком...
