аші (середньої виграш) першого гравця, якщо першим і другим гравцями обрані відповідно стратегії Р і Q.
Існує ряд методів вирішення матричних ігор. Якщо матриця гри має одну з розмірностей, рівну двом (у одного з гравців є тільки дві стратегії), то рішення гри може бути отримано графічно. Відомо кілька методів наближеного рішення матричної ігри, наприклад, метод Брауна. У багатьох ігрових завданнях у сфері економіки невизначеність викликана не свідомим протидією противника, а недостатньою обізнаністю про умови, в яких діють сторони.
За характером взаємодії ігри поділяються на:
Безкоаліційні: гравці не мають права вступати в угоди, утворювати коаліції;
коаліційні (кооперативні) - можуть вступати в коаліції.
У кооперативних іграх коаліції наперед визначені.
2. Кооперативні ігри
У Росії при побудові математичної моделі конфлікту роблять відмінності між коаліцією дії і коаліцією інтересів. Коаліцією дії називаються ті чи інші колективи, які беруть участь у грі і приймають рішення. Коаліцією інтересів називаються колективи, що беруть участь в грі і відстоюють деякі спільні інтереси. Крім того, вводиться поняття ситуації - результат вибору усіма коаліціями дії своїх стратегій.
Гра називається кооперативної, або коаліційної , якщо гравці можуть об'єднуватися в групи, беручи на себе деякі зобов'язання перед іншими гравцями і координуючи свої дії. Цим вона відрізняється від некооперативних ігор, в яких кожен зобов'язаний грати за себе. Розважальні ігри рідко є кооперативними, однак такі механізми нерідкі в повсякденному житті.
Часто припускають, що кооперативні ігри відрізняються саме можливістю спілкування гравців один з одним. У загальному випадку це невірно. Існують ігри, де комунікація дозволена, але гравці переслідують особисті цілі, і навпаки.
З двох типів ігор, некооперативних описують ситуації в найдрібніших деталях і видають більш точні результати. Кооперативні розглядають процес гри в цілому. Спроби об'єднати два підходи дали чималі результати. Так звана програма Неша вже знайшла вирішення деяких кооперативних ігор як ситуації рівноваги некооперативних ігор.
Гібридні ігри включають в себе елементи кооперативних та некооперативних ігор. Наприклад, гравці можуть утворювати групи, але гра буде вестися в некооперативних стилі. Це означає, що кожен гравець буде переслідувати інтереси своєї групи, разом з тим намагаючись досягти особистої вигоди.
Кооперативні ігри виходять в тих випадках, коли, в грі n гравців дозволяється утворювати певні коаліції. Позначимо через N безліч всіх гравців, N = {1, 2, ..., n }, а через K - будь-яке його підмножина. Нехай гравці з K домовляються між собою про спільні дії і, таким чином, утворюють одну коаліцію. Очевидно, що число таких коаліцій, складаються з r гравців, дорівнює числу сполучень з n по r , то є, а число всіляких коаліцій одно
= 2 n - 1.
З цієї формули видно, що число всіляких коаліцій значно зростає в залежності від числа всіх гравців у даній грі. Для дослідження цих ігор необхідно враховувати всі можливі коаліції, і тому труднощі досліджень зростають із зростанням n . Утворивши коаліцію, безліч гравців K діє як один гравець проти решти гравців, і виграш цієї коаліції залежить від застосовуваних стратегій кожним з n гравців.
Функція u, що ставить у відповідність кожній коаліції K найбільший, впевнено одержуваний його виграш u ( K ), називається характеристичною функцією ігри . Так, наприклад, для безкоаліційній ігри n гравців u ( K ) може вийти, коли гравці з безлічі K оптимально діють як один гравець проти решти < i> N K гравців, що утворюють іншу коаліцію (другий гравець).
Характеристична функція u називається простий , якщо вона приймає тільки два значення: 0 і 1. Якщо характеристична функція u проста, то коаліції K , для яких u (K) = 1, називаються виграють , а коаліції K, для яких u ( K ) = 0, - програють.
Якщо в простій характеристичної функції u виграють є ті і тільки ті коаліції, які містять фіксовану непорожню коаліцію R , то характеристична функція u, що позначається в цьому випадку через u R , називається найпростішої .
Змістовно прості характеристичні функції виникають, наприклад, в умовах голосування, коли коаліція є виграє, якщо вона збирає більше половини голосів (просте більшість) або не менше двох третин голосів (кваліфікована більшість).
Більш складним є приклад оцінки результатів голосування в Раді безпеки ООН, де виграють коаліціями є всі коаліції, що складаються з усіх п'яти пос...
