тійних членів Ради плюс ще хоча б один непостійний член, і тільки вони. p> Найпростіша характеристична функція з'являється, коли в голосі колективі є деяка "ядро", голосуюча з дотриманням правила "вето", а голоси інших учасників виявляються несуттєвими.
Позначимо через u G характеристичну функцію безкоаліційній гри. Ця функція має такими властивостями:
персональность
u G (Г†) = 0, тобто коаліція, яка не містить жодного гравця, нічого не виграє;
супераддітівность
u G ( K Г€ L ) Ві u G ( K ) + u G ( L ), якщо K, L ГЊ N , K Г‡ L В№ Г†,
тобто загальний виграш коаліції не менше сумарного виграшу всіх учасників коаліції;
додатковість
u G ( K ) + u ( N K ) = u ( N )
тобто для безкоаліційній гри з постійної сумою сума виграшів коаліції і решти гравців повинна дорівнювати загальній сумі виграшів усіх гравців.
Розподіл виграшів (розподіл) гравців має задовольняти наступним природним умовам: якщо позначити через x i виграш i- го гравця, то, перше , має задовольнятися умова індивідуальної раціональності
x i Ві u ( i ), для i ГЋ N
тобто будь-який гравець повинен отримати виграш в коаліції не менше, ніж він отримав би, не беручи участь в ній (в іншому випадку він не братиме участі в коаліції); друге , повинно задовольнятися умова колективної раціональності
= u ( N )
тобто сума виграшів гравців повинна відповідати можливостям (якщо сума виграшів всіх гравців менше, ніж u ( N ), то гравцям нема чого вступати в коаліцію, якщо ж вимагати, щоб сума виграшів була більше, ніж u ( N ), то це означає, що гравці повинні ділити між собою суму більшу, ніж у них є).
Таким чином, вектор x = ( x 1 , ..., x n ), що задовольняє умовам індивідуальної та колективної раціональності, називається Дележа в умовах характеристичної функції u.
Система { N , u}, що складається з безлічі гравців, характеристичної функції над цим безліччю і безліччю поділів, задовольняють співвідношенням (2) і (3) в умовах характеристичної функції, називається класичної кооперативної грою .
Кооперативна гра з безліччю гравців N і характеристичної функцією u називається стратегічно еквівалентної грою з тим же безліччю гравців і характеристичної функцією u 1 , якщо знайдуться такі до > 0 і довільні речові C i ( i ГЋ N ), що для будь-якої коаліції К ГЊ N має місце рівність:
u 1 ( K ) = K u ( K ) +
Сенс визначення стратегічної еквівалентності кооперативних ігор (с. е.. к. і) полягає в тому що характеристичні функції с. е.. к. і. відрізняються тільки масштабом виміру виграшів k і початковим капіталом C i . Стратегічна еквівалентність кооперативних ігор з характеристичними функціями u і u 1 позначається так u ~ u 1 . Часто замість стратегічної еквівалентності кооперативних ігор говорять про стратегічної еквівалентності їх характеристичних функцій.
Справедливі наступні властивості для стратегічних еквівалентних ігор:
1. Рефлексивність, тобто кожна характеристична функція еквівалентна собі u ~ u.
2. Симетрія, тобто якщо u ~ u 1 , то u 1 ~ u.
3. Транзитивність , тобто якщо u ~ u 1 і u 1 ~ u 2 , то u ~ u 2 .
Одними з найбільш цікавих способів вирішення коаліційних ігор є рішення із застосуванням аксіом Шеллі.
3. Рішення кооперативної гри за допомогою вектора Шеплі
Аксіоми Шеплі:
1. Аксіома ефективності . Якщо S - будь-який носій гри з характеристичною функцією u, то
= u ( S )
Іншими словами, "справедливість вимагає ", що при поділі загального виграшу носія гри нічого не виділяти на частку сторонніх, які не належать цього носія, так само як і нічого не стягувати з них.
2. Аксіома симетрії . Для будь перестановки p і i ГЋ N має виконуватися (pu) = j i ( u), тобто гравці, однаково входять у гру, повинні "по справедливості" отримувати однакові виграші.
3. Аксіома агрегації . Якщо є дві гри з характерис...
