отримуємо функцію:
(17)
яка є наближенням до функції в сенсі мінімуму квадратичного відхилення Гауса (10) за нормою індукованої скалярним твором (15), дійсно:
(18)
а дискретна норма Гауса нев'язності має вигляд:
(19)
2.2 Інтегральне наближення функції заданої аналітично
У попередньому параграфі ми розглядали наближення функції методом найменших квадратів, припускаючи, що значення функції задані таблично, тому ми користувалися дискретної нормою Гаусса.
Розглянемо тепер випадок, коли аналітично задану, на інтервалі, функцію - треба апроксимувати узагальненим многочленом:
(20)
так, щоб мінімізувалася інтегральна норма нев'язності Гауса:
(21)
інакше кажучи, нам потрібно мінімізувати інтеграл
(22)
Для вирішення цього завдання підставимо (20) в (22), тоді функціонал (22) перетвориться у функцію багатьох змінних, тобто . Умови ж мінімуму функції багатьох змінних мають вигляд:
, (23)
Ці умови набувають вид:
(24)
тобто
(25)
Визначник цієї системи являє собою визначник Грама для функцій, в, тому система (25) має єдине рішення. Підставляючи ці значення в розкладання (20) маємо наближення для. Характер наближення оцінюється відповідної нормою нев'язки.
Задача апроксимації функції заданої аналітично часто застосовується для обчислення інтегралів.
2.3 Числові приклади на застосування методу найменших квадратів Гаусса для наближення функцій заданих таблично або аналітично
а) Розглянемо приклад у разі табличного завдання функції:
Приклад 1: нехай функція задана таблично:
В
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
В
0.31
0.82
1.29
1.85
2.51
3.02
за допомогою методу найменших квадратів апроксимувати цю функцію в класі лінійних функцій. Тобто допускаємо, що. Для знаходження коефіцієнтів, складаємо невязку з дискретної нормі Гауса:
(26)
Необхідні умови мінімуму для мають вид:
(27)
З (27) - отримуємо нормальні рівняння Гаусса:
(28)
Рішення має вид:
(29)
тобто br/>
(30)
б) Тепер, розглянемо приклад у разі наближення складних аналітично заданих функцій, боллее простими функціями.
Приклад 2: Функцію, задану на інтервалі апроксимувати лінійною функцією, визначивши параметри та за методом Гауса (використовуємо інтегральну норму нев'язки Гауса).
Рішення: інтегральна норма нев'язки для даної функції має вигляд:
(31)
Необхідні умови мінімуму для - мають вигляд:
(32)
тобто br/>
(33)
(34)
З рівнянь (33) і (34) знаходимо
(35)
апроксимуючий многочлен має вигляд:
(36)
або
(37)
Для більш глибокого вивчення теорії наближення, необхідне знання чисельних методів обчислення інтегралів і методів розв'язання систем рівняння, тому на наступній лекції ми тимчасово перервемо виклад теорії апроксимації і перейдемо на підготовчу роботу.
Література
1). К. Ректоріс. Варіаційні методи в математичної фізики і механіки. Світ, М., 1995
2). С.Г. Михлин. Чисельна реалізація варіаційних методів, М., Наука, 1996
3). Л.А. Кальницький, Д.А. Добротін, В.Ф. Жевердеев. Спеціальний курс вищої математики для втузів. М., "Вища математика", 1996
4). Т. Шуп. Рішення інженерних задач на ЕОМ. Світ, М., 1982
5). Л. Коллатц. Функціональний аналіз і обчислювальна математика. Світ, М., 1999
6). Р. Варга. Функціональний аналіз і теорія апроксимації в чисельному аналізі. Світ, М., 1994
7). Л. Коллатц, Ю. Альбрехт. Завдання з прикладної математики. Світ, М., 1998. br/>
