чний принцип - твердження, що в мисленні <# "1.files/image009.gif">,
де П† - безперервна строго монотонна функція, а П† -1 - функція, зворотна до П†. При П† (x) = x одержують середнє арифметичне <# "1.files/image010.gif"> X. Норма індукує на Х метрику ПЃ (x, y) = | | Xy | | і, отже, топологію, сумісну з цією метрикою. Повні щодо вказаної метрики простору називаються банахових просторах. Нормоване простір тоді і тільки тоді є Гільбертовим, коли
| | x + y | | + | | X-y | | = 2 * | | x | | 2 + 2 * | | y | | 2 для x, y X.
віддільного топологічне векторний простір нормованих, якщо його топологія сумісна з деякою нормою. Нормованих рівносильна існуванню опуклою обмеженою околиці нуля.
В
2.8.2 Теорема про застосовність великих чисел закону
Дана теорема Колмогорова дає відповідь на питання: за яких умов суми Y n гранично постійні? p> Чи не обмежуючи спільності, можна припустити, що медіани величин Х n , k дорівнюють нулю; нехай пЂњ Х n , k = Х n , k при | Х n , k | ≤ 1 і пЂњ Х n , k = 0 при | Х n , k |> 1, тоді одночасне виконання двох умов
при
і
при
Необхідно і достатньо для граничного сталості сум Y n . В якості З n можна взяти. Якщо математичні очікування існують, то легко вказати додаткові умови, за яких можна вибрати З n = EY n , що призводить до необхідним і достатнім умовам великих чисел закону в класичної формулюванні, тобто br/>
. p> Для послідовності незалежних однаково розподілених величин {X n } ці умови зводяться, відповідно до теореми Хінчина, до існування математичного очікування. У той же час для граничного сталості середніх арифметичних Y n у цьому випадку необхідно і достатньо умова при.
В
2.8.3 Теорема про застосовність великих чисел посиленого закону
У разі незалежних доданків найбільш відомими є умови приложимости великих чисел посиленого закону, встановлені А. Н. Колмогорова: достатню (1930) - для величин з кінцевими дисперсіями і необхідне і достатню (1933) - для однаково розподілених величин (закріплюється в існуванні математичного сподівання величин X i ). Теорема Колмогорова для випадкових величин X 1 , X 2 , ..., X n , ... з кінцевими дисперсіями стверджує, що з умови
В
випливає прикладеність до послідовності X 1 , X 2 , ..., X n , ... великих чисел посиленого закону
. br/>
У термінах дисперсій умова
В
виявляється найкращим в тому сенсі, що для будь-якій послідовності позитивних чисел b n з розбіжним поруч
В
можна побудувати послідовність незалежних випадкових величин X n з DX n = b n , не що б великих чисел посиленого закону. Область застосування умови
В
може бути розширена на основі наступного зауваження. Нехай mX n - медіана X n . Збіжність ряду
В
необхідна для великих чисел посиленого закону. З леми Бореля-Кантеллі випливає, що
В
з імовірністю 1, починаючи з деякого номера. Тому при вивченні умов приложимости великих чисел посиленого закону можна відразу обмежитися випадковими величинами, задовольняють останньому умові.
У доказах А.Я. Хінчина і А.Н. Колмогорова замість збіжності ряду
В
встановлюється збіжність ряду
,
де n k = 2 k . При цьому О.М. Колмогоров використовував носить його ім'я нерівність для максимумів сум випадкових величин.
В
Висновок
І у висновку можна сказати, що О.М. Колмогоров вельми талановитий людина і розвинений у всіх напрямках. Його праці привнесли багато нового в розвиток науки і техніки. Він дав нові напрямки на вивчення ще відкритих областей знань.
Його досягнення не пройшли безслідно - за життя він був почесним членом Інститутів і університетів, а також мав величезну кількість нагород: премій, медалей, орденів і т.п.
Список використаної літератури
1. А.М. Прохоров, І.В. Абашидзе Математичний енциклопедичний словник Москва Наукове видавництво В«Велика російська енциклопедіяВ» 1995
2. А.В. Прохоров Введення в теорію ймовірностей Москва 1982
3. 5ballov.ru <<5ballov.ru>
