и для повторюваних індексів не обов'язково, і ми можемо замінити її будь буквою, яка нам зручна, без зміни значення аналізованого виразу. Таким чином,
В
З цієї причини повторюваний індекс часто називають німим. Індекс, який в якомусь одночленная вираженні не повторюється, назвемо вільним. Таким чином, всі індекси у формулах D), F) і G)-вільні індекси; слід зазначити, що в. цих формулах вільні індекси пробігають значення від 1 до 3. Ми маємо, отже, наше друге умова:
Вільні (Неповторювані) малі латинські індекси пробігають значення від 1 до 3. p> Наприклад, об'єкт другого порядку буде тепер записуватися у вигляді
В
без якого-небудь додаткового згадки про число значень, пробігаємо г і s. Іншими словами, ara означає будь-яку з дев'яти складових
В
Зазначимо, що майже завжди німий індекс буде з'являтися в одним верхньому і в одній нижній положенні. Оскільки це виявиться можливим, у цій главі ми будемо дотримуватися такого розташування індексів.
3. Додавання, множення і згортання об'єктів
В алгебрі об'єктів зі багатьма індексами є три головні операції, які називаються складанням, множенням і згортанням. p> а) Додавання. Ця операція застосовна тільки до об'єктів одного і того ж порядку і типу. Якщо нам дано два об'єкта одного і того ж порядку і типу і якщо ми складаємо кожну складову першого об'єкта з відповідної складової другого, то ми, очевидно, приходимо до об'єкта того ж порядку і типу, що й доданки. Цей процес є операція додавання, і результуючий об'єкт називається сумою двох об'єктів. Таким чином, якщо arst і brst - два об'єкти третього порядку, то об'єкт, певний рівністю
В
є сума і. Ми маємо на увазі тут алгебраїчну суму; тому віднімання включено сюди як окремий випадок. Крім того, ця операція може бути поширена безпосередньо на випадок будь-якої кількості об'єктів, якщо тільки вони всі одного і того ж порядку і типу. p> б) Множення. Ми зараз визначимо твір двох об'єктів. Якщо ми беремо два об'єкти будь-якого типу і множимо кожну складову першого об'єкта на кожну складову другого, ми отримуємо об'єкт, порядок якого дорівнює сумі порядків двох вихідних об'єктів; цей результуючий об'єкт називається добутком двох об'єктів. Наприклад, якщо a r st - об'єкт третього порядку і b mn - Об'єкт другого порядку, то ми бачимо, що об'єкт з rmn , складові якого визначаються рівністю
В
є об'єкт п'ятого порядку і є твором a r st і b mn . Цей процес, звичайно, може бути поширений на будь-яку кількість об'єктів. p> в) Згортання. Процес згортання може бути пояснений на прикладі. Візьмемо об'єкт п'ятого порядку
В
який має як верхні, так і нижні індекси. Якщо ми тепер покладемо і рівним р, ми отримаємо об'єкт arsfp, і так як р є тепер повторюваним індексом, то необхідно справити підсумовування від 1 до 3, у відповідності з нашим умовою. Отже, отриманий таким шляхом новий
В
Ми бачимо, що наш новий об'єкт A2)-третього по-рядка, тобто його порядок на два нижче, ніж порядок вихідного об'єкта. Операція може бути, очевидно, повторена кілька разів, т. е. ми можемо виробити згортання щодо будь-якої пари індексів, один з яких є нижнім,, а інший-верхнім. У наведеному вище прикладі ми можемо справити згортання ще раз за індексами rp, отримавши об'єкт першого порядку
В
Мається ще одна операція, звана внутрішнім множенням, яка не є новою, так як насправді вона є комбінацією множення і згортання. Щоб виконати цю операцію над двома об'єктами, ми спочатку перемножуємо їх, а потім згортаємо твір по нижньому індексом одного об'єкта і верхньому індексом іншого. Таким чином, внутрішнє твір двох об'єктів є, наприклад,
В
4. Симетричні і антисиметричні об'єкти
Якщо ми маємо об'єкт а mn з двома нижніми індексами, то може статися, що кожна з становлять не зміниться за величиною і знаку при зміні місць індексів, тобто
В
Такий об'єкт називають симетричним. У більш загальному випадку об'єкт, що має будь-яке число нижніх індексів, називається симетричним щодо двох з них, якщо становлять не змінюються при зміні місць цих двох індексів. Об'єкт називається абсолютно симетричним щодо нижніх індексів, якщо при зміні місць будь-яких двох з них становлять не змінюються. Абсолютно симетричний об'єкт третього порядку буде, отже, задовольняти співвідношенням
В
З іншого боку, об'єкт а mn називається антисиметричним, якщо зміна місць індексів змінює знак складової, але не змінює її чисельного значення; в такому випадку ми маємо
В
Ці рівності, виписані повністю, виг...
