ВИЩА МАТЕМАТИКА
Криві другого порядку
В
ЗМІСТ
В
1 Окружність. Еліпс
2 Гіпербола
3 Парабола
4 Література
1 Окружність. Еліпс
При розгляді рівнянь прямої на площині ми бачили, що всі вони - рівняння першого ступеня, тобто змінні х і у входять до них
в першого ступеня. Розглянемо основні види так званих кривих другого порядку, тобто кривих, в рівняннях яких мінлива х або мінлива у , або обидві змінні х і у , входять в другому ступені, або ж входить твір х В· у (ступеня складаємо - отримуємо теж другу ступінь). Раніше ви вже знайомилися з такими рівняннями: - Урава-ня кола з центром в початку координат радіуса R ; - рівняння гіперболи, - рівняння параболи. Отримаємо так звані канонічні (основні) рівняння деяких кривих другого порядку.
Окружністю називається безліч точок площини, рівновіддалених від даної точки, званої її центром. Нехай - центр
окружності. R - радіус окружності. Нехай - довільна точка кола. Отже, ==
(1)
(1) - рівняння кола радіуса R c центром у точці з координатами
Еліпсом називається безліч точок площині, для кожної з яких сума відстаней до двох даних точок F 1 і F 2 цій площині, званих фокусами еліпса, є задана постійна величина, що дорівнює 2 а , а > 0, велика , ніж відстань між фокусами 2 з , з > 0. p> Нехай фокуси еліпса лежать на осі Х , причому тобто - межфокусное відстань еліпса.
В
Нехай - довільна точка еліпса. Величини називаються фокальними радіусами точки М еліпса.
За визначенням еліпса: r 1 + r 2 = 2 a , а > c . З прямокутних трикутників, по теоремі Піфагора, маємо:
(2)
Помножимо (2) на
В В
(3)
Складемо рівняння (2) і (3):
В
(4)
Зведено (4) у квадрат:
В
Нехай
(5)
(5) - канонічне рівняння еліпса з центром на початку координат. Відповідно, рівняння
В В В
- канонічне рівняння еліпса з центром в точці
Числа а і називаються відповідно великий і малої півосями еліпса . Зауважимо, що а >, якщо а <, То фокуси еліпса будуть на осі Оу , якщо а =, то еліпс перетворюється на окружність.
Точки, називаються вершинами еліпса . Зазначимо, що еліпс цілком розташований усередині прямокутника:
Так як
(6)
В
Ексцентриситетом еліпса e називають відношення межфокусного відстані 2 з до довжини великої осі 2 а .
(7)
Отже, причому коли тобто маємо коло.
При прагнучому до 1 еліпс стає більш витягнутим уздовж осі Ох .
Висловимо фокальні радіуси точки через ексцентриситет. З (4):
(8) p> З (3):
Значить, підставивши координати точки еліпса в рівняння (8), отримуємо фокальні радіуси точки М .
Прямі називаються директрисами еліпса .
- ліва директриса,
- права директриса.
Зауважимо, що директриси еліпса мають наступним важливим властивістю:
(9)
т. е. ставлення відстані r i від будь-якої точки еліпса до фокуса до відстані d i від неї до відповідної директриси є величина постійна, рівна ексцентриситету еліпса.
2 Гіпербола
В
Гіперболою називається безліч точок площині, для кожної з яких модуль різниці відстаней від яких до двох даних точок тій же площині, званих фокусами гіперболи, є задана постійна величина менша , ніж відстань між фокусами
Нехай фокуси гіперболи лежать на осі Ох , причому тобто Зауважимо, що
Нехай - довільна точка гіперболи. Як і раніше, - Фокальні радіуси точки М . br/>В
За визначенням гіперболи:
В
де
Отже,
(10)
Помножимо (10) на
В
(11)
Складемо рівняння (10) і (11):
(12)
Зведено (12) у квадрат:
В В
Нехай
(13)
(13) - канонічне рівняння гіперболи з центром на початку координат. Відповідно, рівняння
В
- канонічне рівняння гіперболи з центром в точці
Числа a і b називаються відповідно дійсної і уявної полуосями гіперболи. Гіпербола з рівними півосями ( a = b ) називається равносторонней, її канонічне рівняння має вигляд:
В
...
