Контрольна робота
тема: «Диференціальні операції другого порядку»
Москва 2014
Зміст
Введення
1. Оператор Лапласа
2. Градієнт дивергенції
3. Дивергенція градієнта і ротора
4. Ротор градієнта і ротора
5. Формули Гріна
Список використаної літератури та джерел
Введення
Обчислення градієнта, дивергенції і ротора пов'язано з одноразовим дифференцированием деяких функцій, тому ці операції називають диференціальними операціями першого порядку.
Для скалярного поля був введений один оператор першого порядку
.
Для векторного поля введені два оператора першого порядку
.
Повторне застосування оператора «Набла» призводить до необхідності обчислення других похідних. Т.ч. ми приходимо до диференціальних операторам другого порядку.
Має сенс розглядати п'ять диференціальних операцій другого порядку:
);
);
);
);
).
Будемо вважати, що необхідні умови дифференцируемости, безперервності і пр. виконані. Більш детально ці питання обговорюються в розширених курсах вищої математики.
1. Оператор Лапласа
Розглянемо скалярний полі. Існує єдиний диференційний оператор, який діє на це поле
.
Отриманий вектор вказує величину і напрям максимального зростання функції.
Обчислимо в явному вигляді. Використовуючи оператор «Набла», маємо
.
Переконаємося у справедливості цього виразу шляхом безпосереднього диференціювання:
.
Вираз, природно, вийшло таким же.
Такий вираз часто зустрічається в різних завданнях математичної фізики і для його запису введено спеціальний диференційний оператор другого порядку:
диференціальна операція градієнт дивергенція
.
Цей оператор називають оператором Лапласа або лапласіаном. Формально можна записати
.
Отже, дивергенція градієнта скалярної функції дорівнює лапласіану цієї функції. Оператор Лапласа широко застосовується в різних завданнях. Так, наприклад, розрахунок температурного поля зводиться до вирішення рівняння Лапласа
з відповідними граничними умовами.
. Градієнт дивергенції
Розглянемо операцію. У прямокутній декартовій системі координат маємо
Отриманий вираз є вектором, компонентами якого є комбінації приватних похідних другого порядку.
Відзначимо, що некоректне використання оператора «Набла» може привести до невірних результатів:
.
У цій формулі, яка відрізняється від отриманої на початку параграфа, допущена помилка в перетворенні
.
Три вектора, які тут використову...
