РЕФЕРАТ
На тему:
Позначення та визначення тензорної алгебри
Зміст
1. Індексні позначення
2. Умова про підсумовуванні
3. Додавання, множення і згортання об'єктів
4. Симетричні і антисиметричні об'єкти
Література
1. Індексні позначення
Система індексних позначень становить настільки значну частину тензорного числення, що читач, освоївшись одного разу з її особливостями, зможе йти далі самостійно. Тому ми присвятимо справжню главу тільки самій системі позначень, виклавши коротко її застосування лише до теорії визначників, і відкладемо до наступної глави власне тензорну алгебру. Якщо нам дана сукупність трьох незалежних змінних, то вони можуть бути позначені трьома різними літерами, наприклад х, у, z, але ми вважаємо більш зручним позначати змінні даної сукупності однієї і тієї ж буквою, розрізняючи їх за допомогою індексів. Таким чином, ми можемо записати три змінні у вигляді xv х2, х3, або в більш компактній формі:
В
Тут ми написали індекс г внизу, але в рівній мірі ми могли б використовувати замість цього верхній значок, так що змінні були б записані у вигляді х1, х2, х3, або
В
Зрозуміло, що х г значить зведення х у r-ю ступінь; індекс г використовується просто для того, щоб розрізнити три змінні. Згодом ми будемо використовувати як верхні, так і нижні індекси; в наступному розділі ми пріпішем положенню індексу спеціальний зміст. Надалі ми побачимо, що для наших змінних зручна форма запису 2), а не 1).
Однорідна лінійна функція змінних зазвичай записується у вигляді
В
де а,, а2, а3 -Константи. Таким чином, коефіцієнти лінійної форми можуть бути записані в вигляді
В
Об'єкти, які, подібно хт і ат, залежать тільки від одного індексу, називаються об'єктами першого порядку, а окремі літери з індексами х1, х2, х3 і аг, а2, а3 називаються елементами або складовими об'єкта. Об'єкти першого порядку, що мають три складові, назовемтрехмернимі. Є два типи об'єктів першого порядку, а саме ті, у яких індекс вгорі, і ті, у яких індекс внизу; отже, всі об'єкти першого порядку належать до одного з двох типів
В
З іншого боку, однорідна квадратична функція трьох змінних має вигляд
В
де a mn -Константи. Ми бачимо, що коефіцієнти квадратичної форми залежать від двох індексів і записуються так:
В
Об'єкти, які залежать від двох індексів, називаються об'єктами другого порядку. З того, що індекси бувають верхні і нижні, випливає, що об'єкти другого порядку можуть бути трьох типів:
В
Легко бачити, що в цьому випадку кожен об'єкт має 9 складових. p> Аналогічно можна отримати об'єкти третього порядку, які залежатимуть від трьох індексів і можуть належати до будь-якого з чотирьох типів:
В
Тут кожен об'єкт містить З3 або 27 складових. Ми можемо
продовжувати це побудова і отримати об'єкти будь-якого порядку. Для закінченості цієї послідовності ми назвемо об'єкт а, який не має індексів, об'єктом нульового порядку. Ми взяли число вимірювань рівним трьом лише для визначеності. Все, що було сказано вище, застосовується також до будь-якого числа вимірів, якщо умовитися, що число значень, пробігаємо індексом, так само | числу вимірювань. Наприклад, якщо число вимірювань дорівнює чотирьом, слід вважати, що індекси можуть пробігати значення від 1 до 4, а але від 1 до 3, як передбачалося вище.
2. Умова про підсумовуванні
Ми введемо тепер два важливих умови щодо індексів. У тензорному обчисленні ми часто маємо справу з сумами типу C) і E); неважко помітити, що в цих формулах індекси, по яким йде підсумовування, з'являються двічі. Наші формули можна зробити компактніше, якщо позбутися від знака 2 - Це може бути здійснено, якщо прийняти, що знак 2 буде матися на увазі в будь-якому випадку, коли в одночленная вираженні індекс повторюється. Тоді C) можна записати так:
В
а (5) прийме вигляд
В
Єдина незручність в застосуванні нашого умови виникає в тому випадку, коли ми бажаємо виписати один член-якої з сум (8) або (9). Нам це потрібно дуже рідко, але ми запасемося для цього випадку угодою, що умова про підсумовуванні застосовується тільки, коли повторюваний індекс записаний малої буквою, а використання великих букв для повторюваних індексів значить підсумовування. Таким чином, окремі члени сум (8) і (9) будуть позначатися відповідно. Наше перше умова, отже, читається так:
повторюється малий латинський індекс означає підсумовування від 1 до 3. p> Так як повторюваний індекс означає підсумовування від 1 до 3, то застосування якої-небудь спеціальної літер...
