також говорити про межі f , коли х , у в†’ в€ћ:
(5)
Наприклад, у разі кінцевого числа А рівність (5) треба розуміти в тому сенсі, що для всякого Оµ> 0 знайдеться таке N > 0, що для всіх х , у , для яких | x |> N , | y |> N , функція f визначена і має місце нерівність
| f ( x , y ) - А | <Оµ.
Справедливі рівності
(6)
(7)
(8)
де може бути х в†’ в€ћ, у в†’ в€ћ. При цьому, як звичайно, межі (кінцеві) у їх лівих частинах існують, якщо існують межі f і П†.
Доведемо для прикладу (7).
Нехай ( x k , y k ) в†’ ( х 0 , у 0 ) (( X k , y k ) в‰ ( х 0 , у 0 )); тоді
(9)
Таким чином, межа в лівої частини (9) існує і дорівнює правій частині (9), а так як послідовність ( x k , y k ) прагне до ( х 0 , у 0 ) за будь-якому закону, то ця межа дорівнює межі функції f ( x , y < i>) в€™ П† ( x , y ) в точці ( х 0 , у 0 ).
Теорема. якщо функція f ( x , y ) має межу, не рівний нулю в точці ( х 0 , у 0 ), тобто
В
то існує Оґ> 0 таке, що для всіх х , у , що задовольняють нерівностям
0 <<Оґ, (10)
вона задовольняє нерівності
(12)
Тому для таких ( x , y )
В
тобто має місце нерівність (11). З нерівності (12) для зазначених ( x , y ) слід звідки при A > 0 і при
A <0 (збереження знака).
За визначенням функція f ( x ) = f ( x 1 , ..., x n ) = < i> A має межа в точці
x 0 =, рівний числу А , що позначається так:
В
(пишуть ще f ( x ) в†’ A ( x в†’ x 0 )), якщо вона визначена на деякій околиці точки x 0 , за винятком, бути може, її самої, і якщо існує межа
В
яка б не була прагне до x 0 послідовність точок х k з вказаної околиці ( k = 1, 2, ...), відмінних від x 0 .
Інше еквівалентне визначення полягає в наступному: функція f має в точці x 0 межа, рівний А , якщо вона визначена в деякій околиці точки x 0 , за винятком, бути може, її самої, і для будь-якого Оµ> 0 знайдеться таке Оґ> 0, що
(13)
для всіх х , задовольняють нерівностям
0 <| x - x 0 | <Оґ.
Це визначення у свою чергу еквівалентно наступному: для будь-якого Оµ> 0 знайдеться околиця U ( x 0 ) точки x 0 така, що для всіх х U ( x 0 ) , х в‰ x 0 , виконується нерівність (13).
Очевидно, що якщо число А є межа f ( x ) в x 0 , то А є межа функції f ( x 0 + h ) від h в нульовій точці:
В
і навпаки.
Розглянемо деяку функцію f , задану у всіх точках округа точки x 0 , крім, можливо, точки x 0 ; нехай П‰ = (П‰ 1 , ..., П‰ п ) - Довільний вектор довжини одиниця (| ​​ω | = 1) і t > 0 - скаляр. Точки виду x 0 + t П‰ (0 < t ) утворюють виходить з x 0 промінь у напрямку вектора П‰. Для кожного П‰ можна розглядати функцію
(0 < t <Оґ П‰ )
від скалярної змінної t , де Оґ П‰ є число, залежне від П‰. Межа цієї функції (від однієї змінної t )
В
якщо він існує, природно називати межею f в точці x 0 у напрямку вектора П‰.
Будемо писати, якщо функція f визначена в деякій околиці x
