ра в змішаних стратегіях залагодити . p> Тому, розглядаючи тут біматричних ігри, розумно спробувати відразу ж перейти до змішаних стратегіях гравців (цим ми припускаємо, що кожна гра може бути багато разів повторена в незмінних обставинах).
У матричному разі змішування стратегій призводило до розширення можливості виплат у тому сенсі, що розрахунок будувався з обчислення середніх виграшів гравців А і В , які визначалися за елементами платіжної матриці А і ймовірностям і:
,
При змішаних стратегіях у біматричних іграх також виникають середні виграші гравців А і В , визначаються за правилам, в яких вже немає ніякої дискримінації гравця В :
,
3. 2x2 біматричних гри. Ситуація рівноваги
Ми припускаємо приділити основну увагу нагоди, коли у кожного з гравців є рівно дві стратегії, тобто нагоди т = п = 2. Тому нам здається доречним виписати наведені вище формули саме для такого випадку.
У 2 '2 біматричних грі платіжні матриці гравців мають наступний вигляд
,,
ймовірності
біматричних гра рішення
В
а середні виграші обчислюються за формулами
В
де
,
Сформулюємо основне визначення.
Визначення. Будемо вважати, що пара чисел
,,
визначає рівноважну ситуацію , якщо для будь-яких р і q , підлеглих умовам одночасно виконані наступні нерівності
В
(1)
Пояснення . Виписані нерівності (1) означають наступне: ситуація, обумовлена ​​змішаною стратегією (р *, q *), є рівноважної , якщо відхилення від неї одного з гравців за умови, що інший зберігає свій вибір, призводить до того, що виграш отклонившегося гравця може тільки зменшитися. Тим самим, виходить, що якщо рівноважна ситуація існує, то відхилення от неї невигідно самому гравцеві.
Теорема 1 (Дж. Неш). Всякая біматричних гра має хоча б одну рівноважну ситуацію (точку рівноваги) у змішаних стратегіях.
Отже, рівноважна ситуація існує. Але як її знайти? p> Якщо деяка пара чисел ( р *, q *) претендує на те, щоб визначати ситуацію рівноваги, то для того, щоб переконатися в обгрунтованості цих претензій, або, навпаки, довести їх необгрунтованість, необхідно перевірити справедливість нерівностей (1) для будь-якого р в межах від 0 до 1 і для будь-якого q в межах від 0 до 1. У загальному випадку число таких перевірок нескінченно. І, отже, дієвий спосіб визначення рівноважної ситуації потрібно шукати десь в іншому місці.
Теорема 2. Виконання нерівностей
В В
(1)
рівносильно виконання нерівностей
В В
(2)
Іншими словами, для того, щоб переконатися в обгрунтованості претензій пари ( р *, q *) на те, щоб визначати рівноважну ситуацію, потрібно перевірити справедливість нерівності
В
тільки для двох чистих стратегій гравця А (р = 0 і р = 1 ) і нерівності
В
тільки для двох чистих стратегій гравця В ( q = 0 і q = 1).
Чотири нерівності (2) дозволяють провести пошук точки рівноваги цілком конструктивно.
Запишемо середні виграші гравців А і В в більш зручній формі.
Маємо
В
Звернемося до першої з отриманих формул.
Вважаючи в ній спочатку р = 1, а потім р = 0, отримуємо,
В
Розглянемо різниці
В В
Вважаючи
В
отримаємо для них наступні вирази
В В
У випадку, якщо пара ( р , q ) визначає точку рівноваги, ці різниці ненегативні
В
Тому остаточно отримуємо
В
З формул для функції н в (р, q ) при q = 1 і q = 0 відповідно маємо
В
Різниці
і
з урахуванням позначень
.
наводяться до виду
В В
абсолютно так само, як відповідні різниці для функції Н А .
Якщо пара (р , q ) визначає точку рівноваги, то ці різниці ненегативні
В
Тому
В
Висновок
Для того, щоб у біматричних грі
,,
пара (р, q ) визначала рівноважну ситуацію , необхідно і достатньо одночасне виконання наступних нерівностей
...
