МЕТОДИ РІШЕННЯ біматричних ІГОР
1. Основні визначення теорії біматричних ігор
Розглянемо конфліктну ситуацію, в якій кожен з двох учасників має такі можливості для вибору своєї лінії поведінки:
гравець А - може вибрати будь-яку зі стратегій А 1 , ... , А т ,
гравець В - будь-яку зі стратегій У 1 , ..., В n
При цьому щоразу їх спільний вибір оцінюється цілком визначено:
якщо гравець А вибрав i -у стратегію , а гравець У - k -ю стратегію , то в підсумку виграш гравця А буде дорівнює деякому числу, а виграш гравця В деякого, взагалі кажучи, іншому числу.
Іншими словами, всякий раз кожен з гравців отримує свій приз.
Послідовно перебираючи всі стратегії гравця А і все стратегії гравця В, ми зможемо заповнити їх виграшами дві таблиці (Перша з них описує виграші гравця А, а друга - виграші гравця В).
В
Зазвичай ці таблиці записують у вигляді матриць
В
Тут А - платіжна матриця гравця А , а В - платіжна матриця гравця В .
При виборі гравцем А i -й стратегії, а гравцем В - k -й стратегії їх виграші перебувають у матрицях виплат на перетині i -х рядків і k -x стовпців: в матриці А це елемент , а в матриці В - елемент .
Таким чином, у разі, коли інтереси гравців різні (але не обов'язково протилежні), виходять дві платіжні матриці: одна - матриця виплат гравцеві А , інша - матриця виплат гравцеві В . Тому абсолютно природно звучить назва, яке зазвичай присвоюється подібній грі - біматричних .
Зауваження. Розглянуті матричні ігри, можна розглядати і як біматричних, де матриця виплат гравцеві У протилежна матриці виплат А :
В
У загальному випадку біматричних гра - це гра з ненульовою сумою .
Клас біматр. ігор значно ширше класу матричних (різноманітність нових модельованих конфліктних ситуацій досить помітно), а, значить, неминуче збільшуються і труднощі, що постають на шляху їх успішного вирішення.
Приклад. В«Студент - ВикладачВ».
Розглянемо наступну ситуацію. Студент (гравець А ) готується до заліку, який приймає Викладач (гравець В ) . Можна вважати, що у Студента дві стратегії - підготуватися до здачі заліку (+) І не підготуватися (-). У Викладача також дві стратегії - поставити залік [+] і не поставити заліку [-].
В основу значень функцій виграшу гравців покладемо наступні міркування:
В В
Кількісно це можна виразити, наприклад, так
В
2. Змішані стратегії в біматричних іграх
У наведених прикладах описані ситуації, в яких інтереси гравців не збігаються. Постає питання про те, які рекомендації необхідно дати гравцям для того, щоб моделируемая конфліктна ситуація вирішилася. Іншими словами, що ми будемо розуміти під рішенням біматричних гри?
Спробуємо відповісти на це питання так:
внаслідок того, що інтереси гравців не збігаються, нам потрібно побудувати таке (компромісне) рішення, яке б у тому чи іншому, але в однаковому розумінні задовольняло обох гравців.
Не намагаючись відразу висловлювати цю думку зовсім точно, скажімо - спробуємо знайти якусь рівноважну ситуацію , явне відхилення від якої одного з гравців зменшувало б його виграш.
Подібне питання ми ставили і при розгляді матричних ігор. Нагадаємо, що виникає при розробці мінімаксного підходу поняття рівноважної ситуації призводило нас до пошуку сідлової точки, яка, існує не завжди - звичайно, якщо обмежуватися тільки чистими стратегіями гравців А і В , тобто стратегіями.
Однак при розширенні матричної гри шляхом переходу до змішаних стратегіям, тобто до такої поведінки гравців, при якому вони чергують (чисті) стратегії з певними частотами:
гравець А - стратегії A 1 , ..., < i> А т з частотами р 1 , ..., р т , де
В
а гравець В - стратегії У 1 , .... , В n , з частотами q 1 , ..., q n , де
В
з'ясувалося, що в змішаних стратегіях рівноважна ситуація завжди існує. Іншими словами, будь матрична г...
