для будь-якого
Нехай - клас, ПРЕДСТАВНИК Якого є
В
Тоді
В
для будь-яких Звідсі Лема доведена.
1.4 Найпростіша теорема вкладень
Теорема 1. внесок у
Доказ. Нехай безупинності дференцюєма на відрізку Відповідно до теореми про середній, внаслідок безперервності найдеться крапка така, что Тому на відрізку справедливо наступна тотожність:
В
За помощью нерівності Коші-Буняковського маємо
В
де
В
Отже, для будь-який безупинності дференцюємої на відрізку Функції справедлива нерівність
(1.8)
Нехай тепер послідовність - фундаментальна по нормі Тоді
В
при Отже, фундаментальна в змісті рівномірної збіжності й, за крітерієм Коші рівномірної збіжності, сходитися до Тім больше в Середньому. Таким чином, у класі з утрімуючої як представник, утрімується безперервна функція й, виходе, цею клас можна ототожніті з Ототожнімо елєменти з безперервнімі функціямі. Нехай Переходячі в нерівності до Межі при прійдемо до нерівності (1.8).
Отже, вкладений в доведено. Доказ теореми закінченій. br/>
1.5 Простір Соболєва ї
Нехай - однозв'язна область Із й достатньо гладкою границею У замкнутій области розглянемо лінійній простір усілякіх безупинності діференцюєміх функцій Зі скалярним добутком
В
При цьом
(1.9)
отриманий простір Зі скалярним добутком позначається а его поповнення - це, по визначенню, простір Соболєва
Нехай - фундаментальна послідовність у тоб при Звідсі треба, что в будут фундаментальність послідовності
В
Внаслідок повнотіла у є елєменти, Які ми позначімо
В
так что прі в СЕРЕДНЯ
В
Елементи назіваються узагальнення частко похіднімі елемента
Скалярним добуток и норма задаються в Тімі ж формулами, что ї в у Які тепер похідні узагальнені, а інтегрування розуміється в змісті Лебега. Уведемо в Розгляд простір цею простір є Поповнення у нормі
(1.10)
лінійного простору функцій, безупинності діференцюєміх на ї таких, что є гильбертова простором Зі скалярним добутком
В
Лема 3. Если а ті
В В В
Доказ. Досить довести Першу Із ціх формул. Вона справедлива, ЯКЩО а Нехай - Фундаментальна в послідовність, межу Якої - елемент Переходячі в тотожності до Межі при одержимо для будь-який Дійсно, Зі збіжності в треба, что
В
тоб безперервність скалярного добутку.
Нехай тепер - фундаментальна послідовність у Перейдемо до Межі в тотожності
В
ї одержимо віхідну тотожність.
Наслідок. утрімується суворо усередіні
Дійсно, функція Альо інакше ми малі б
В
тоб
В
для кожної Візьмемо ї одержимо протіріччя.
Теорема 2 (Фрідріхс). Існує Постійна така, что для будь-яких
В
Доказ. По самому визначенню всякий елемент Із захи Нехай и сходитися в до
Побудуємо куб
В
утрімуючу область Функції візначімо нулем у Частинами похідна існує всюди в за вінятком, буті може, тихий крапок, у якіх пряма, паралельна осі абсцис, перетінає границю области Для будь-якої крапки маємо
В
За нерівності Коші-Буняковського
В
Інтегруючі отриманий нерівність по знаходимо
В
Тому що поза ті
В
Переходячі до Межі при пріходімо до доказуваної нерівності Фрідріхса.
Наслідок 1. Простір вкладений в
Це пропозиція безпосередно віпліває з визначення вкладень банахових просторів и нерівності Фрідріхса.
Наслідок 2. У нормі (1.9) і (1.10) еквівалентні. p> Дійсно, вікорістовуючі нерівність Фрідріхса, маємо
В
2. ! Застосування просторів Соболєва в математічній фізіці
2.1 Доказ Існування ї одінічності узагальнення решение рівняння Лапласа
Теорема 3 (Рісс). Нехай - гильбертова простір. Для будь-якого лінійного обмеженності функціонала заданого всюди на існує єдиний елемент такий, что для всіх
При цьом
Доказ наведень в [1, стор. 171]. p> Теорема Рісса Ефективно застосовується в Теорії возможности розв'язання граничних задач для рівнянь Із частко похіднімі. Будемо Говорити, что гильбертова простір вкладений у гільбертовому простір ЯКЩО Із треба, что причому існує Постійна така, что для всіх
(2.1)
має місце Наступний наслідок з теореми Рісса.
Теорема 4. Если гильбертова простір вкладений у гільбертовому простір то для шкірного елемента знайдеться єдиний елемент такий, что для всіх має місце тотожність
Тотожність це візначає оператор такий, что при цьом
Доказ. При шкірному фіксованому вираженною при всілякіх візначає лінійній...
