обмеженності функціонал на Лінійність функціонала очевидна. Его обмеженість віпліває з ОЦІНКИ
В
За теоремі Рісса існує єдиний елемент такий, что Тім самим усюди на завдань лінійній оператор Далі, з доведенням Вище нерівності треба, что
В
думаючи тут одержимо тоб ї, виходе, обмеженності. Теорема доведена. p> Як додаток доведеної теореми ї просторів Соболєва доведемо Існування ї одінічність узагальнення решение задачі Діріхле для рівняння Пуассона. У замкнутої обмеженої однозв'язної области з й достатньо гладкою границею розглянемо Наступний граничну задачу:
(2.2)
(2.3)
Припустиме, что права частина безперервна в по сукупності змінніх. Функція назівається Класичним рішенням задачі (2.2) - (2.3), ЯКЩО безперервно як функцію трьох змінніх у має в безперервні похідні, что входять у ліву Частину (2.2), задовольняє в рівнянню (2.2) i дорівнює нулю на тоб задовольняє гранічній умові (2.3).
Нехай - класичне решение задачі (2.2) - (2.3), а безперервна в дорівнює нулю на ї безупинності дференцюєма в тоді для будь-який такий справедливо наступна інтегральна тотожність:
(2.4)
Для доказу цієї тотожності скорістаємося формулою Гаусса-Остроградського:
В
Пріймемо
ї одержимо
В
Оскількі
В
а ті одержуємо (2.4).
Нехай тепер а інтегралі (2.4) розуміються в змісті Лебега. Функція назівається узагальнення рішенням Крайової задачі (2.2) - (2.3), ЯКЩО для будь-якої Функції віконується інтегральна тотожність (2.4).
Доведемо, что для будь-якої правої Частини узагальнення решение Крайової задачі (2.2) - (2.3) існує и єдіно.
Для цього помітімо, что гильбертова простір вкладений у гільбертовому простір того что, по визначенню всяка функція захи такоже и ї справедлива оцінка для кожної (дів. п. 1.5):
В
Отже, по теоремі 4 для всякої Функції існує єдина функція така, что для всіх
В
а це и є інтегральну тотожність (2.4).
Висновок
Простір Соболєва ї тісно пов'язане з ним Поняття узагальненої похідної в СЕНСІ Соболєва були уведені в математичну практику академіком С.Л. Соболєвім и відіграють найважлівішу роль у теоретичності и прикладними харчуванням математичної фізики й функціонального аналізу. Поповнення простору гладких функцій Деяк ідеальнімі елементами, Які можна з будь-яким ступенів точності обчісліті за помощью ЕЛЕМЕНТІВ Із приводити, з одного боку, внаслідок повнотіла до точності й Закінчення багатьох математичних тверджень, о з Іншого боці, зберігає ВСІ обчислювальні возможности.
Таким чином, ми розглянулі простори Соболєва, їхні основні Властивості ї! застосування в математічній фізіці.
Список літератури
1. Треногін В.О. Функціональний аналіз. - К., 2006
2. Соболєв С.Л. Деякі! Застосування функціонального аналізу в математічній фізіці. - К, 2004
3. Куланін О.Д., Норін В.П. 3000 конкурсних завдань по математіці. - К., 2000
4. Гусєв В.А., Мордкович А.Д. Довідкові матеріали по математіці. - К., 2003
5. Сканаві М.М. Збірник завдань з математіці. - К., 2006
