Теми рефератів
> Реферати > Курсові роботи > Звіти з практики > Курсові проекти > Питання та відповіді > Ессе > Доклади > Учбові матеріали > Контрольні роботи > Методички > Лекції > Твори > Підручники > Статті Контакти
Реферати, твори, дипломи, практика » Новые рефераты » Основні Властивості простору Соболєва

Реферат Основні Властивості простору Соболєва














Реферат


Основні Властивості простору Соболєва


Зміст


1. Простір Соболєва

1.1 Загальне визначення

1.2 Простір

1.3 Інше визначення узагальненої похідної

1.4 Найпростіша теорема вкладень

1.5 Простір Соболєва ї

2. ! Застосування просторів Соболєва в математічній фізіці

2.1 Доказ Існування ї одінічності узагальнення решение рівняння Лапласа

Висновок

Список літератури

1. Простір Соболєва


1.1 Загальне визначення


Нехай у задана замкнута обмеже область Розглянемо лінійній простір Речовини функцій раз безупинності діференцюєміх на Діференцюємость на замкнутій области можна розуміті в різніх змістах. Ми будемо пріпускаті, что у Функції раз безупинності діференцюємі, причому Кожна Частинами похідна Функції має межу при прагненні до будь-якої граничної крапки области так что в результаті ее продовження на вона становится безперервної в Границя области передбачається й достатньо гладкої. Крім того, звичайна ми будемо вважаті область одне зв'язковий и задовольняючому такого Додатковий обмеженності, Які могут знадобітіся в тихий або других міркуваннях.

Скорістаємося для стіслості Наступний позначені. Набір індексів назівається мультііндексом. Число назівається Довжина мультііндекса. Для позначені часток похідніх пріймемо


В 

Уведемо в Розглянуто Вище лінійному просторі норму


(1.1)


отриманий нормованій простір позначається ЙОГО поповнення в нормі (1.1) позначається й назівається простором Соболєва.

У прикладних задачах й достатньо часто зустрічається випадок Загальнопрійнятій Наступний позначені: Простір Соболєва є гильбертова простором - Поповнення простору в нормі, породженої скалярним добутком


В 

нижчих ми докладніше Зупинимо на окрем випадка и тоб розглянемо простору Соболєва на речовінній осі й у трівімірному просторі.


1.2 Простір


Розглянемо на відрізку простір Який Складається Із усілякіх функцій безупинності діференцюєміх на Зі скалярним добутком


(1.2)


и відповідному цьом скалярному добутку нормою


(1.3)

є Поповнення у Цій нормі. Елементами відповідно до теореми про поповнення, є класи, что складаються з послідовностей фундаментальних в у СЕРЕДНЯ, точніше, таких, что


при


Дві Такі послідовності й належати одному класу, ЯКЩО є Нескінченно малою по нормі тоб, ЯКЩО


при


Зх умови фундаментальності в СЕРЕДНЯ в треба, что окремо при


В 

Аналогічно, з умови еквівалентності ї по нормі треба, что при


В 

Відповідно до визначення простору існують Функції ї Такі, что при а в Середньому.

Мі пріходімо до Наступний найважлівішого визначення. Нехай Тоді у візначені елемент Із ПРЕДСТАВНИК и елемент Із ПРЕДСТАВНИК назівається узагальненій похідній (у змісті Соболєва) від При цьом пишуть:

З визначення узагальненій похідній видно, что вона візначається не локальний, в окрем Крапка, а глобально - відразу на всім відрізку Нехай так что Перейдемо до Межі прі в рівностях


(1.4)

(1.5)


І, відповідно до теореми про поповнення й визначення інтеграла Лебега, прійдемо до формул (1.2) і (1.3), де тепер похідні розуміються в узагальнення змісті, а інтеграл - у змісті Лебега. Для конкретних обчислень, зрозуміло, можна й нужно користуватись формулами (1.4) і (1.5), взявши й достатньо ровері тоб вместо ідеальних ЕЛЕМЕНТІВ скористати їхнімі гладкими набліженнямі


1.3 Інше визначення узагальненої похідної


Нехай - множини всех безупинності діференцюєміх на відрізку фінітніх функцій Если тепер безупинності дференцюєма на відрізку ті для довільної Функції справедливо наступна інтегральна тотожність:


(1.6)


перевіряється інтегруванням вроздріб. Цією тотожністю Повністю візначається.

Припустимо, что, крім того, для будь-яких и деякої безперервної на відрізку Функції br/>

(1.7)


Віднімаючі ці тотожності, одержимо, что для будь-яких


В 

Звідсі, внаслідок щільності в на відрізку Віявляється, інтегральна тотожність (1.7) можна Прийняти за визначення узагальненої похідної. Самперед, справедлива наступна лема. p> Лема 1. Если то для будь-яких справедливо тотожність (1.6).

Доказ. Нехай тоді для всіх маємо (1.6):


В 

Внаслідок Властивості безперервності скалярного добутку в Останній рівності можна перейти до Межі при У результаті ми одержимо тотожність (1.6) для будь-якої Функції Лема доведена.

Лема 2. Нехай дані Такі, что для всіх справедливо тотожність (1.7). Тоді (узагальнена похідна).

Доказ. Нехай а Тоді


В 

при

...


сторінка 1 з 3 | Наступна сторінка





Схожі реферати:

  • Реферат на тему: Нормоване простір. Банаховий простір
  • Реферат на тему: Визначення коефіцієнтів кореляції між зростом і вагою (в нормі) в осіб жіно ...
  • Реферат на тему: Визначення функції
  • Реферат на тему: Простір і час: витоки і зміст понять
  • Реферат на тему: Простір і час в спеціальній теорії відносності. Основні закономірності роз ...