Реферат
Основні Властивості простору Соболєва
Зміст
1. Простір Соболєва
1.1 Загальне визначення
1.2 Простір
1.3 Інше визначення узагальненої похідної
1.4 Найпростіша теорема вкладень
1.5 Простір Соболєва ї
2. ! Застосування просторів Соболєва в математічній фізіці
2.1 Доказ Існування ї одінічності узагальнення решение рівняння Лапласа
Висновок
Список літератури
1. Простір Соболєва
1.1 Загальне визначення
Нехай у задана замкнута обмеже область Розглянемо лінійній простір Речовини функцій раз безупинності діференцюєміх на Діференцюємость на замкнутій области можна розуміті в різніх змістах. Ми будемо пріпускаті, что у Функції раз безупинності діференцюємі, причому Кожна Частинами похідна Функції має межу при прагненні до будь-якої граничної крапки области так что в результаті ее продовження на вона становится безперервної в Границя области передбачається й достатньо гладкої. Крім того, звичайна ми будемо вважаті область одне зв'язковий и задовольняючому такого Додатковий обмеженності, Які могут знадобітіся в тихий або других міркуваннях.
Скорістаємося для стіслості Наступний позначені. Набір індексів назівається мультііндексом. Число назівається Довжина мультііндекса. Для позначені часток похідніх пріймемо
В
Уведемо в Розглянуто Вище лінійному просторі норму
(1.1)
отриманий нормованій простір позначається ЙОГО поповнення в нормі (1.1) позначається й назівається простором Соболєва.
У прикладних задачах й достатньо часто зустрічається випадок Загальнопрійнятій Наступний позначені: Простір Соболєва є гильбертова простором - Поповнення простору в нормі, породженої скалярним добутком
В
нижчих ми докладніше Зупинимо на окрем випадка и тоб розглянемо простору Соболєва на речовінній осі й у трівімірному просторі.
1.2 Простір
Розглянемо на відрізку простір Який Складається Із усілякіх функцій безупинності діференцюєміх на Зі скалярним добутком
(1.2)
и відповідному цьом скалярному добутку нормою
(1.3)
є Поповнення у Цій нормі. Елементами відповідно до теореми про поповнення, є класи, что складаються з послідовностей фундаментальних в у СЕРЕДНЯ, точніше, таких, что
при
Дві Такі послідовності й належати одному класу, ЯКЩО є Нескінченно малою по нормі тоб, ЯКЩО
при
Зх умови фундаментальності в СЕРЕДНЯ в треба, что окремо при
В
Аналогічно, з умови еквівалентності ї по нормі треба, что при
В
Відповідно до визначення простору існують Функції ї Такі, что при а в Середньому.
Мі пріходімо до Наступний найважлівішого визначення. Нехай Тоді у візначені елемент Із ПРЕДСТАВНИК и елемент Із ПРЕДСТАВНИК назівається узагальненій похідній (у змісті Соболєва) від При цьом пишуть:
З визначення узагальненій похідній видно, что вона візначається не локальний, в окрем Крапка, а глобально - відразу на всім відрізку Нехай так что Перейдемо до Межі прі в рівностях
(1.4)
(1.5)
І, відповідно до теореми про поповнення й визначення інтеграла Лебега, прійдемо до формул (1.2) і (1.3), де тепер похідні розуміються в узагальнення змісті, а інтеграл - у змісті Лебега. Для конкретних обчислень, зрозуміло, можна й нужно користуватись формулами (1.4) і (1.5), взявши й достатньо ровері тоб вместо ідеальних ЕЛЕМЕНТІВ скористати їхнімі гладкими набліженнямі
1.3 Інше визначення узагальненої похідної
Нехай - множини всех безупинності діференцюєміх на відрізку фінітніх функцій Если тепер безупинності дференцюєма на відрізку ті для довільної Функції справедливо наступна інтегральна тотожність:
(1.6)
перевіряється інтегруванням вроздріб. Цією тотожністю Повністю візначається.
Припустимо, что, крім того, для будь-яких и деякої безперервної на відрізку Функції br/>
(1.7)
Віднімаючі ці тотожності, одержимо, что для будь-яких
В
Звідсі, внаслідок щільності в на відрізку Віявляється, інтегральна тотожність (1.7) можна Прийняти за визначення узагальненої похідної. Самперед, справедлива наступна лема. p> Лема 1. Если то для будь-яких справедливо тотожність (1.6).
Доказ. Нехай тоді для всіх маємо (1.6):
В
Внаслідок Властивості безперервності скалярного добутку в Останній рівності можна перейти до Межі при У результаті ми одержимо тотожність (1.6) для будь-якої Функції Лема доведена.
Лема 2. Нехай дані Такі, что для всіх справедливо тотожність (1.7). Тоді (узагальнена похідна).
Доказ. Нехай а Тоді
В
при
...
