1 ), X (t 2 ), ..., X (t n )), що складається з усіх сполучень цього процесу. У принципі таких сполучень нескінченно багато, але для опису випадкового процесу вдається частина обійтися відносно невеликою кількістю сполучень.
Кажуть, що випадковий процес має порядок n , якщо він повністю визначається щільністю спільного розподілу П† (x 1, x 2 , ..., x n ; t 1 , t 2 , ..., t n ) n довільних перерізів процесу, тобто щільністю n-мірної випадкової величини (X (t 1 ), X (t 2 ), ..., X (t n )), де X (t i ) - поєднання випадкового процесу X (t) у момент часу t i , i = 1, 2, ..., n.
Як і випадкова величина, випадковий процес може бути описаний числовими характеристиками. Якщо для випадкової величини ці характеристики є постійними числами, то для випадкового процесу - невипадковими функціями.
Математичним очікуванням випадкового процесу X (t) називається невипадкова функція a x (t), яка при будь-якому значенні змінної t дорівнює математичному очікуванню відповідного перетину випадкового процесу X (t), тобто a x (t) = М [X (t)].
Дисперсією випадкового процесу X (t) називається невипадкова функція D x (t), при будь-якому значенні змінної t рівна дисперсії відповідного поєднання випадкового процесу X (t), тобто D x (t) = D [X (t)]. p> Середнім квадратичним відхиленням Пѓ x (t) випадкового процесу X (t) називається арифметичне значення кореня квадратного з його дисперсії, тобто Пѓ x (t) = D x (t).
Математичне сподівання випадкового процесу характеризує середню траєкторію всіх можливих його реалізацій, а його дисперсія або середнє квадратичне відхилення - розкид реалізацій щодо середньої траєкторії.
Уведених вище характеристик випадкового процесу виявляється недостатньо, так як вони визначаються тільки одномірним законом розподілу. Якщо для випадкового процесу Х 1 (t) характерно повільне зміна значень реалізацій зі зміною t, то для випадкового процесу Х 2 (t) це зміна проходить значно швидше. Іншими словами, для випадкового процесу Х 1 (t) характерна тісний імовірнісна залежність між двома його сполученнями Х 1 (t 1 ) і Х 1 (t 2 ), в той час як для випадкового процесу Х 2 (t) ця залежність між сполученнями Х 2 (t 1 ) і Х 2 (t 2 ) практично відсутня. Зазначена залежність між сполученнями характеризується кореляційної функцією.
Визначення: Кореляційною функцією випадкового процесу Х (t) називається невипадкова функція
K x (t 1 , t 2 ) = M [(X (t 1 ) - a x (t 1 )) (X (t 2 ) - A x (t 2 ))] (1.) br/>
двох змінних t 1 і t 2 , яка при кожній парі змінних t 1 і t 2 дорівнює коваріації відповідних поєднань Х (t 1 ) і Х (t 2 ) випадкового процесу.
Очевидно, для випадкового процесу Х (t 1 ) кореляційна функція K x 1 (t 1 , t 2 ) зменшується в міру збільшення різниці t 2 - t 1 значно повільніше, ніж K x 2 (t 1 , t 2 ) для випадкового процесу Х (t 2 ).
Кореляційна функція K x (t 1 , t 2 ) характеризує не тільки ступінь тісноти лінійної залежності між двома сполученнями, а й розкид цих сполучень щодо математичного очікування a x (t). Тому розглядається також нормована кореляційна функція випадкового процесу.
Унормованого кореляційної функцією випадкового процесу Х (t) називається функція:
P x (t 1 , t 2 ) = K x (t 1 , t 2 )/Пѓ x (t 1 ) Пѓ x (t 2 ) (2)
Приклад № 1
Випадковий процес визначається формулою X (t) = X cosП‰t, де Х - випадкова величина. Знайти основні характеристики цього процесу, якщо М (Х) = а, D (X) = Пѓ 2 .
РІШЕННЯ:
На підставі властивостей математичного сподівання і дисперсії маємо:
a x (t) = M (X cosωt) = cosωt * M (X) = a cosωt,
D x (t) = D (X cosωt) = cos 2 ωt * D (X) = σ 2 cos 2 ωt.
Кореляційну функцію знайдемо за формулою (1.)
K x (t 1 , t ...
