Міністерство освіти і науки РФ
Череповецький державний університет
Інженерно-економічний інститут
Реферат
Поняття випадкового процесу в математиці
Виконувала студентка
групи 5 ДМУ-21
Іванова Юлія
Череповець
2009
Зміст
Введення
Основна частина
В· Визначення випадкового процесу і його характеристики
В· Марківські випадкові процеси з дискретними станами
В· Стаціонарні випадкові процеси
В· Ергодичний властивість стаціонарних випадкових процесів
Література
Введення
Поняття випадкового процесу введено в XX столітті і пов'язане з іменами А.Н. Колмогорова (1903-1987), А.Я. Хінчина (1894-1959), Є.Є. Слуцького (1880-1948), Н. Вінера (1894-1965). p> Це поняття в наші дні є одним з центральних не тільки в теорії ймовірностей, але також у природознавстві, інженерній справі, економіці, організації виробництва, теорії зв'язку. Теорія випадкових процесів належить до категорії найбільш швидко розвиваються математичних дисциплін. Безсумнівно, що ця обставина в значною мірою визначається її глибокими зв'язками з практикою. XX століття не міг задовольнитися тим ідейним спадщиною, яку було отримано від минулого. Дійсно, в той час, як фізика, біолога, інженера цікавив процес, тобто зміна досліджуваного явища в часі, теорія ймовірностей пропонувала їм як математичного апарату лише кошти, які вивчали стаціонарні стани.
Для дослідження зміни в часі теорія ймовірностей кінця XIX - початку XX століття не мала ні розроблених приватних схем, ні тим більше загальних прийомів. А необхідність їх створення буквально стукала у вікна та двері математичної науки. Вивчення броунівського руху у фізиці підвело математику до порога створення теорії випадкових процесів.
Вважаю за необхідне згадати ще про два важливих групах досліджень, розпочатих в різний час і з різних приводах.
перше, ця роботи А.А. Маркова (1856-1922) по вивченню ланцюгових залежностей. По-друге, роботи Е.Е. Слуцького (1880-1948) по теорії випадкових функцій. p> Обидва цих напрямки грали дуже істотну роль у формуванні загальної теорії випадкових процесів.
Для цієї мети вже був накопичений значний вихідний матеріал, і необхідність побудови теорії як б носилися в повітрі.
Залишалося здійснити глибокий аналіз наявних робіт, висловлених у них ідей і результатів і на його базі здійснити необхідний синтез.
В
Визначення випадкового процесу і його характеристики
Визначення : Випадковим процесом X (t) називається процес, значення якого при будь-якому значенні аргументу t є випадковою величиною.
Іншими словами, випадковий процес являє собою функцію, яка в результаті випробування може прийняти той або інший конкретний вид, невідомий заздалегідь. При фіксованому t = t 0 X (t 0 ) являє собою звичайну випадкову величину, тобто перетин випадкового процесу в момент t 0.
Приклади випадкових процесів:
1. чисельність населення регіону з плином часу;
2. число заявок, що надходять у ремонтну службу фірми, з плином часу.
Випадковий процес можна записати у вигляді функції двох змінних X (t, П‰), де П‰ € О©, t € T, X (t, П‰) € в‰Ў і П‰ - елементарна подія, О© - простір елементарних подій, Т - Безліч значень аргументу t, в‰Ў - Безліч можливих значень випадкового процесу X (t, П‰). p> Реалізацією випадкового процесу X (t, П‰) називається невипадкова функція x (t), в яку перетворюється випадковий процес X (t) у результаті випробування (при фіксованому П‰), тобто конкретний вид, що приймається випадковим процесом X (t), його траєкторія.
Таким чином, випадковий процес X (t, П‰) поєднує в собі риси випадкової величини і функції. Якщо зафіксувати значення аргументу t, випадковий процес перетворюється на звичайну випадкову величину, якщо зафіксувати П‰, то в результаті кожного випробування він перетворюється на звичайну невипадкову функцію. У подальшому викладі опустимо аргумент П‰, але він буде матися на увазі за умовчанням.
На малюнку 1 зображено кілька реалізацій деякого випадкового процесу. Нехай перетин цього процесу при даному t є безперервною випадковою величиною. Тоді випадковий процес X (t) при даному t визначається повністю ймовірності П† (x, t). Очевидно, що щільність П† (x, t) не є вичерпним описом випадкового процесу X (t), бо вона не виражає залежності між його перетинами в різні моменти часу.
Випадковий процес X (t) являє собою сукупність всіх перетинів при всіляких значень t, тому для його опису необхідно розглядати багатовимірну випадкову величину (X (t ...
