2 ) = M [(X cosωt 1 - a cosωt 1 ) (X cos ωt 2 - a cosωt 2 )] =
= cosωt 1 cosωt 2 * M [(X - a) (X - a)] = cosωt 1 cosωt 2 * D (X) = σ 2 cosωt 1 cosωt 2 .
Нормовану кореляційну функцію знайдемо за формулою (2.):
P x (t 1 , t 2 ) = σ 2 cosωt 1 cosωt 2 /(Σ cosωt 1 ) (σ cosωt 2 ) ≡ 1. br/>
Випадкові процеси можна класифікувати залежно від того, плавно або стрибкоподібно змінюються стану системи, в якій вони протікають, звичайно (лічильно) або нескінченно безліч цих станів і т.п. Серед випадкових процесів особливе місце належить Марковському випадковому процесу. br/>
Теорема. Випадковий процес X (t) є Гільбертовим тоді і тільки тоді, коли існує R (t, t ') для всіх (t, t') € T * T.
Теорію Гільбертових випадкових процесів називають кореляційної.
Зауважимо, безліч Т може бути дискретним і континуальним. У першому випадку випадковий процес Х t називають процесом з дискретним часом, у другому - з безперервним часом.
Відповідно поєднання Х t можуть бути дискретними і безперервними випадковими величинами. p> Випадковий процес називається Х (t) вибірково неправильним, диференційовних і інтегрованим в точці П‰ € О©, якщо його реалізація x (t) = x (t, П‰) відповідно неперервна, дифференцируема і інтегровна.
Випадковий процес Х (t) називається безперервним: майже, напевно, якщо
P (A) = 1, A = {Ω € Ω: lim x (t n ) = x (t)}
У середньому квадратичному, якщо
Lim M [(X (t n ) - X (t)) 2 ] = 0
За ймовірністю , якщо
Aδ ≥ 0: lim P [| X (t n ) - X (t) |> δ] = 0
Збіжність в середньому квадратичному позначають також:
X (t) = lim X (t n )
Виявляється, з вибіркової безперервності треба безперервність майже напевно, з безперервності майже напевно і в середньому квадратичному треба безперервність по ймовірності.
Теорема. Якщо X (t) - Гильбертів випадковий процес, безперервний у середньому квадратичному, то m x (t) - безперервна функція і має місце співвідношення
Lim M [X (t n )] = M [X (t)] = M [lim X (t n )]. br/>
Теорема. Гильбертів випадковий процес X (t) безперервний у середньому квадратичному тоді і тільки тоді, коли неперервна його коваріаційна функція R (t, t ') в точці (t, t).
Гильбертів випадковий процес X (t) називається диференційованою в середньому квадратичному, якщо існує випадкова функція X (t) = dX (t)/dt така, що
X (t) = dX (t)/dt = lim X (t + О”t) - X (t)/О”t
(t € T, t + Δt € T),
тобто коли
Lim M [((X (t + О”t) - X (t)/(О”t)) - X (t)) 2 ] = 0
Випадкову функцію X (t) будемо називати похідної в середньому квадратичному випадкового процесу X (t) відповідно в точці t або на T.
Теорема. Гильбертів випадковий процес X (t) диференціюємо в середньому квадратичному у крапці t тоді і тільки тоді, коли існує
Оґ 2 R (t, t ')/ОґtОґt' в точці (t, t '). При цьому:
R x (t, t ') = M [X (t) X (t')] = Оґ 2 R (t, t ')/ОґtОґt '.
Якщо Гильбертів випадковий процес диференціюємо на Т, те його похідна в середньому квадратичному також є Гільбертовим випадковим процесом, якщо вибіркові траєкторії процесу діфференцируєми на Т з імовірністю 1, то з імовірністю 1 їхні похідні збігаються з похідними в середньому квадратичному на Т.
Теорема. Якщо X (t) - Гильбертів випадковий процес, то
M [dX (t)/dt] = (D/dt) M [X (t)] = dm x (t)/dt. br/>
Нехай (0, t) - кінцевий інтервал, 0 1 <... n = t - його точки
X (t) - Гильбертів випадковий процес.
Y n = ОЈ X (t i ) (t i - t i-1 ) (n = 1,2, ...).
Тоді випадкова величина
Y (t) = lim Y n
max (t i - t i -1 ) в†’ 0
Називається інтегралом в середньому квадратичному процесу X (t) на (0, t) і позначається:
Y (t) = ∫ X (τ) dτ.
Теорема . Інтеграл Y (t) в середньому квадратичному існує тоді і тільки тоді, коли коваріаційна функція R (t, t ') гильбертова процесу X (t) неперервна на Т Г— Т і існує інтеграл
R y (t, t...
