цях інтервалу може змінитися.
Наведені властивості справедливі також і для статечних рядів (1.1).
Приклад 2.1. Розглянемо степеневий ряд
.
Область збіжності цього ряду, як показано в прикладі 1.1, є проміжок.
Почленно продифференцируем цей ряд:
В
. (2.1)
По властивості 2 інтервал збіжності отриманого статечного ряду (2.1) є інтервал. p> Досліджуємо поведінку цього ряду на кінцях інтервалу збіжності, тобто при і при.
При статечної ряд (2.1) перетворюється на числовий ряд
.
Цей числовий ряд розходиться, так як не виконується необхідна ознака збіжності:, який не існує.
При статечної ряд (2.1) перетворюється на числовий ряд
,
який також розходиться, оскільки не виконується необхідний ознака збіжності.
Отже, область збіжності статечного ряду, отриманого при почленного диференціюванні вихідного статечного ряду, змінилася і збігається з інтервалом.
В
3. Ряди Тейлора, Маклорена для функцій
Нехай - дифференцируемая нескінченне число разів функція в околиці точки, тобто має похідні будь-яких порядків.
Визначення 3.1. Поруч Тейлора функції в точці називається статечної ряд
В
. (3.1)
В окремому випадку при ряд (3.1) називається поруч Маклорена :
. (3.2)
Виникає питання: в яких випадках ряд Тейлора для диференційованої нескінченне число разів функції в околиці точки збігається з функцією? p> Можливі випадки, коли ряд Тейлора функції сходиться, проте його сума не дорівнює.
Наведемо достатня умова збіжності ряду Тейлора функції до цієї функції.
Теорема 3.1:
якщо в інтервалі функція має похідні будь-якого порядку і всі вони за абсолютною величиною обмежені одним і тим же числом, тобто, то ряд Тейлора цієї функції сходиться до для будь-якого х з цього інтервалу, тобто має місце рівність
В
.
Для з'ясування виконання цього рівності на кінцях інтервалу збіжності потрібні окремі дослідження.
Слід зазначити, що якщо функція розкладається в степеневий ряд, то цей ряд є поруч Тейлора (Маклорена) цієї функції, причому це розкладання єдине.
В
4. Розкладання деяких елементарних функцій в ряд Маклорена
1. . Для цієї функції,.
За формулою (3.2) складемо ряд Маклорена даної функції:
. (3.3)
Знайдемо радіус збіжності ряду (3.3) за формулою (1.3):
.
Отже, ряд (3.3) сходиться при будь-якому значенні.
Всі похідні функції на будь-якому відрізку обмежені, тобто
В
.
Тому, згідно теоремі 3.1, має місце розкладання
. (3.4)
2. . Для цієї функції,,.
Звідси випливає, що при похідні парного порядку дорівнюють нулю, а похідні непарного порядку чергують знак з плюса на мінус.
За формулою (3.2) складемо ряд Маклорена:
.
При будь-якому фіксованому значенні цей ряд сходиться як Знакозмінні за ознакою Лейбніца. При цьому
В
.
Тому, згідно теоремі 3.1, має місце розкладання
. (3.5)
3. . Скористаємося розкладанням (3.5) в ряд Маклорена функції і властивістю 2 про диференціюванні статечного ряду. Маємо
В В
.
(3.6)
Оскільки при почленного диференціюванні інтервал збіжності степеневого ряду не змінюється, то розкладання (3.6) має місце при будь-якому.
Наведемо без доведення розкладання інших елементарних функцій в ряди Маклорена.
4. p> - біноміальний ряд (- будь-яке дійсне число).
Якщо - позитивне ціле число, то отримуємо біном Ньютона :
.
- логарифмічний ряд .
.
В
5. Додатки статечних рядів
Степеневі ряди знаходять застосування в таких завданнях, як наближене обчислення функцій із заданою ступенем точності, визначених інтегралів, рішення диференціальних рівнянь та ін
Наближене значення функції обчислюють, замінюючи ряд Маклорена цієї функції кінцевим числом його членів.
Наведемо наближені формули для обчислення деяких найбільш часто зустрічаються функцій при досить малих значеннях х :
;;;; p>;.
В
Література
1. Вища математика: Загальний курс: Підручник - 2-е вид., Перераб. /А.І. Яблонський, А.В. Кузнєцов, Є.І. Шилкина і ін; За заг. ред. С.А. Самаль. - Мн.: Виш. шк., 2000. - 351 с.
2. Марков Л.М., Размисловіч Г.П. Вища математика. Ч. 2. Основи математичного аналізу та елементи диференціальних рівнянь. - Мн.: Амалфея, 2...
