ВИЩА МАТЕМАТИКА
Степеневі ряди
В
Зміст
1. Визначення статечного ряду. Теорема Абеля
2. Властивості степеневих рядів
3. Ряди Тейлора, Маклорена для функцій
4. Розкладання деяких елементарних функцій в ряд Маклорена
5. Додатки статечних рядів
В
1. Визначення статечного ряду. Теорема Абеля
Степеневі ряди є приватним випадком функціональних рядів.
Визначення 1.1 . Статечним поруч називається функціональний ряд вигляду . (1.1)
Тут - постійні речові числа, звані коефіцієнтами статечного ряду; а - деяке постійне число, х - змінна, що приймає значення з безлічі дійсних чисел.
При статечної ряд (1.1) приймає вигляд
. (1.2)
Статечної ряд (1.1) називають поруч за ступенями різниці , ряд (1.2) - поруч по ступенями х .
Якщо змінній х надати небудь значення, то степеневий ряд (1.1) (або (1.2)) перетворюється на числовий ряд, який може сходитися чи розходитися.
Визначення 1.2 . Областю збіжності статечного ряду називається безліч тих значень х, при яких статечної ряд сходиться.
Ряд (1.1) за допомогою підстановки приводиться до простішого вигляду (1.2), тому спочатку будемо розглядати статечні ряди виду (1.2).
Для знаходження області збіжності статечного ряду важливу роль відіграє наступна теорема.
Теорема 1.1 (Теорема Абеля) :
якщо статечної ряд (1.2) сходиться при , То він абсолютно сходиться при всіх значеннях х, що задовольняють нерівності; якщо ж ряд (1.2) розходиться при, то він розходиться при всіх значеннях х, що задовольняють нерівності.
Теорема Абеля дає ясне уявлення про структуру області збіжності степеневого ряду.
Теорема 1.2:
область збіжності степеневого ряду (1.2) збігається з одним із наступних інтервалів:
В
1), 2), 3), 4),
В
де R - деяке невід'ємне дійсне число або.
Число R називається радіусом збіжності , інтервал - інтервалом збіжності статечного ряду (1.2).
Якщо, то інтервал збіжності являє собою всю числову вісь.
Якщо, то інтервал збіжності вироджується в точку.
Зауваження: якщо - інтервал збіжності для статечного ряду (1.2), то - інтервал збіжності для статечного ряду (1.1).
З теореми 1.2 випливає, що для практичного знаходження області збіжності степеневого ряду (1.2) достатньо знайти його радіус збіжності R і з'ясувати питання про збіжність цього ряду на кінцях інтервалу збіжності, тобто при і.
Радіус збіжності R статечного ряду можна знайти по одній з наступних формул:
формула Даламбера:
; (1.3)
формула Коші:
В
. (1.4)
Якщо у формулі Коші, то вважають, якщо, то вважають.
Приклад 1.1. Знайти радіус збіжності, інтервал збіжності та область збіжності степеневого ряду.
Рішення
Знайдемо радіус збіжності даного ряду за формулою
В
У нашому випадку
,.
Тоді.
Отже, інтервал збіжності даного ряду має вигляд.
Досліджуємо збіжність ряду на кінцях інтервалу збіжності.
При статечної ряд перетворюється на числовий ряд
.
який розходиться як гармонійний ряд.
При статечної ряд перетворюється на числовий ряд
.
Це - Знакозмінні ряд, члени якого убувають за абсолютною величиною і. Отже, за ознакою Лейбніца цей числовий ряд сходиться. p> Таким чином, проміжок - область збіжності даного статечного ряду.
В
2. Властивості степеневих рядів
Статечної ряд (1.2) являє собою функцію, визначену в інтервалі збіжності, тобто
.
Наведемо кілька властивостей функції.
Властивість 1. Функція є неперервної на будь-якому відрізку, що належить інтервалу збіжності.
Властивість 2. Функція диференційовна на інтервалі, і її похідна може бути знайдена почленного диференціюванням ряду (1.2), тобто
В
,
для всіх .
Властивість 3. Невизначений інтеграл від функції для всіх може бути отриманий почленного інтегруванням ряду (1.2), тобто
В В
для всіх .
Слід зазначити, що при почленного диференціюванні та інтегрування статечного ряду його радіус збіжності R не змінюється, проте його збіжність на кін...
