безлічі до множини. br/>В
а) б) в)
В
г) д)
Рис.1
Нехай задана система множин, де значення утворюють деяку сукупність індексів. Об'єднанням множин називається безліч, кожен елемент якого належить хоча б одному з множин. Перетинанням множин називається безліч, кожен елемент якого належить одночасно всім множинам. p> Приклад. Нехай,,, де - безліч натуральних чисел. Тоді
,,,
,,
,,,
,,,,.
Логічні символи
- означає "з пропозиції слід пропозицію";
- означає "пропозиції та рівносильні, тобто із треба і
із треба;
: - означає "має місце", "таке що";
- (символ загальності) означає "для будь-якого", "для всякого";
- (символом існування) означає "знайдеться", "існує".
Наприклад, запис означає "для будь-якого знайдеться позитивне число".
Безліч дійсних чисел
У процесі рахунку спочатку виникає так званий натуральний ряд чисел Безліч цих чисел називається множиною натуральних чисел і позначається = {}. Далі в арифметиці вводяться операції додавання, віднімання, множення і ділення. Проте в результаті віднімання або ділення не завжди виходять натуральні числа, і виникає необхідність розширити клас розглянутих чисел. p> Вводяться число 0 і негативні числа - 1, - 2, ..., - n , ... Натуральні числа, число 0 і зазначені негативні числа утворюють безліч цілих чисел. Очевидно, що безліч натуральних чисел є підмножиною цілих чисел, тобто. p> При розподілі цілих чисел з'являються раціональні числа виду, де і - цілі числа, причому. Безліч раціональних чисел позначають буквою. Його можна записати у вигляді. Раціональне число, взагалі кажучи, можна записати не єдиним чином. Наприклад, Щоб уникнути цієї невизначеності говорять, що раціональне число - це нездолана звичайна дріб. При цьому припускають, що якщо чисельник і знаменник мають спільні множники, то дріб слід скоротити. Зауважимо також, що цілі числа також представіми у вигляді, якщо покласти. Отже,. p> У процесі вимірювання геометричних величин з'ясувалося, що довжина відрізка не завжди може бути задана раціональним числом. Таким прикладом може служити довжина гіпотенузи прямокутного трикутника з катетами, рівними 1. Як випливає з теореми Піфагора, довжина гіпотенузи в даному трикутнику дорівнює. Припустимо, що - раціональне число, тобто може бути представлено у вигляді. Причому і не мають спільних множників. Після зведення в квадрат рівності отримаємо або
. (1)
Остання рівність означає, що - парне число. Тоді також є парним і може бути записано у вигляді. Підставляючи в (1) отримаємо. Звідси випливає, що - теж парне число. Але в цьому випадку і мають загальний множник, рівний двом, а ми припустили, що - нездолана дріб. Отже, наше припущення виявилося невірним, і не є раціональним числом. Отже, добування кореня, обчислення логарифмів, значень тригонометричних функцій та інші операції призвели до появи ірраціональних чисел. Всі раціональні та ірраціональні числа утворюють безліч речових (дійсних) чисел. Безліч дійсних чисел позначають. Очевидно, справедливе співвідношення. p> Будь-яке дійсне число може бути представлено нескінченної десятковим дробом. При цьому раціональні числа можна представити у вигляді:
) нескінченної десяткового періодичної дробу, тобто дробу, у якої, починаючи з деякого знака, одна або кілька наступних цифр періодично повторюються, наприклад, (ці повторювані цифри записують у круглих дужках).
) або у вигляді кінцевої десяткового дробу. Відзначимо також, що раціональні числа, що мають вид кінцевої десяткового дробу, допускають двояке уявлення у вигляді нескінченної десяткового дробу. По-перше, таку дріб можна вважати нескінченною, у якої всі знаки з номерами великими дорівнюють нулю, тобто представити її у вигляді. Так можна записати як 0,5000 ... = 0,5 (0), а 1 = 1.000. = 1. (0). Або таку кінцеву десяткову дріб можна записати у вигляді
.
І тоді а 1 = 1.000. = 1. (0) = 0,999 ... = 0, (9). p> Далі ми завжди будемо використовувати другу форму запису.
Ірраціональні числа завжди представляються нескінченної десяткового неперіодичної дробом.
Очевидно, що має місце наступне включення множин.
Числові послідовності
Визначення. Якщо кожному натуральному числу ставиться у відповідність за певним законом деякий дійсне число, то сукупність занумерованих чисел називають числовою послідовністю або просто послідовністю. p> Числа називаються елементами або членами послідовності. За своїм визначенням послідовність містить нескінченну безліч елементів. Послідовність з елементами позначають також {}. p> Наприклад, - це послідовність,
- це послідовність 0, 2, 0, 2, ...
Послідовність може бути за...
