дана за допомогою формули, яка називається формулою загального члена послідовності. Наприклад, формула задає послідовність
Сумою (різницею) двох послідовностей і називається послідовність, всі елементи якої дорівнюють сумі (різниці) ().
Твором двох послідовностей і називається послідовність =, приватним - послідовність =, причому при визначенні приватного потрібно зажадати, щоб всі елементи послідовності були відмінні від нуля.
Обмежені і необмежені послідовності
Визначення. Послідовність називається обмеженою зверху (знизу), якщо знайдеться таке дійсне число, що для всіх членів послідовності справедливо нерівність (). p> Послідовність називається обмеженою, якщо вона обмежена і зверху і знизу, тобто якщо знайдуться такі дійсні числа і, що для всіх членів послідовності справедливо нерівність.
Це визначення можна сформулювати по іншому:
Послідовність називається обмеженою, якщо знайдеться позитивне число таке, що для всіх членів послідовності справедливо нерівність. (Тут). p> Послідовність називається необмеженою, якщо для будь-якого позитивного числа знайдеться хоча б один елемент послідовності, що задовольняє нерівності.
Прімери.1. = - Обмежена послідовність, так як. p>. = - Обмежена послідовність, так як. p>. - Необмежена послідовність {}, так як для будь-якого позитивного числа знайдеться хоча б один елемент послідовності, що задовольняє нерівності. p> Нескінченно великі і нескінченно малі послідовності
Визначення. Послідовність називається нескінченно великою, якщо для будь-якого позитивного числа знайдеться номер, що залежить від, такий, що для всіх номерів справедливо нерівність. p> Приклад. Послідовність, тобто послідовність натуральних чисел {} є нескінченно великою, так як для будь-якого позитивного числа знайдеться номер, такий, що для всіх номерів справедливо нерівність. p> Очевидно, що будь-яка нескінченно велика послідовність є необмеженою. Дійсно, для того, щоб послідовність була необмеженою необхідно, щоб для будь-якого позитивного числа нерівність виконувалося, хоча б для одного елемента послідовності, але з визначення нескінченно великою послідовності випливає, що такими елементами є всі елементи послідовності, починаючи з деякого номера.
Протилежне твердження невірно, тобто необмежена послідовність не завжди є нескінченно великою.
Приклад. Розглянемо послідовність 0, 2, 0, 4, ..., у якої всі члени з непарними номерами дорівнюють нулю, а члени з парними номерами рівні. Оскільки для будь-якого позитивного числа знайдеться натуральне число, то для парних номерів великих справедливо нерівність. Отже, дана послідовність є необмеженою. Однак вона не є нескінченно великою, так як, якою б великою номер ми не взяли, маються члени з непарними номерами, рівні нулю, для яких нерівність не має місця. p> Визначення. Послідовність називається нескінченно малою, якщо для будь-якого позитивного числа знайдеться номер, що залежить від, такий, що при всі елементи цієї послідовності задовольняють нерівності. p> Приклад. Показати, що послідовність є нескінченно малою. p> Нехай - довільне позитивне число. Тоді при всіх, тобто за номер можна прийняти натуральне число, де - ціла частина числа. Оскільки для довільного числа ми змогли визначити номер такий, що при всіх справедливо нерівність, то послідовність - нескінченно мала. p> Приклад. Показати, що послідовність є нескінченно великою, якщо, і нескінченно малою, якщо. p>) Нехай. Візьмемо довільне позитивне число. Тоді, при всіх. Візьмемо. Тоді для всіх справедлива ланцюжок нерівностей. Отже, послідовність є нескінченно великою. p>) Якщо, то для будь-якого позитивного числа і будь-якого номера виконується нерівність, і послідовність - нескінченно мала. Розглянемо випадок. У цьому випадку, при всіх. Візьмемо. Тоді при всіх. Отже, якщо, то послідовність є нескінченно малою. p align="justify"> Межа числової послідовності. Сходяться послідовності
Визначення 1. Число називається межею послідовності , якщо для будь-якого позитивного числа знайдеться такий номер, що залежить від, що при всі елементи цієї послідовності задовольняють нерівності
. (1)
Символічно це записують так
, або при.
Нерівність (1) означає, що, починаючи з номера, всі елементи послідовності знаходяться усередині інтервалу, який називають-околицею числа.
Згідно цьому визначенню нескінченно мала послідовність має своїм межею нуль, тобто.
Якщо послідовність є нескінченно великою, то пишуть. У разі нескінченно великою послідовності, всі члени якої, починаючи з деякого номера позитивні, кажуть, що її межа дорівнює і пишуть. Якщо ж всі члени нескінченно великою послідовності, починаючи з деякого номера негативні, то її межа вважають рівним і пишуть. p> Визначення 2. Число називається межею послідовності , якщо в будь-округа числа знаходяться всі елементи даної послідовності, починаючи з деякого...
