Х В® {1, 2} - безперервна сюр'єктивно функція і нехай безліч M = {1, 2}, тобто П† ( Х ) = М . Безлічі A = {1} і B = {2} - непорожні, непересічні відкриті в М і. Функція П† сюр'єктивно, тому справедливо наступне рівність:
Х = П† -1 ( М ) = П† -1 ( А В ) = П† - 1 ( А ) П† -1 ( В ),
причому П† -1 ( А ) і П† -1 ( В ) непусті непересічні множини. У силу того, що функція П† безперервна, безлічі Про 1 = П† -1 ( А ) і Про 2 = П† -1 ( В ) непусті, непересічні відкриті в Х і Х = Про 1 Про 2 . €
Теорема 1.3. Нехай в топологічному просторі Х дано два діз'юнктних замкнутих безлічі F 1 і F 2 і непорожнє зв'язне безліч М, що міститься в об'єднанні F 1 F 2 . Тоді М міститься тільки в одному з множин, що входять до об'єднання, тобто або в F 1 , або в F 2 .
Доказ. Нехай F 1 і F 2 діз'юнктние замкнуті в Х множини і непорожнє зв'язне безліч М ГЌ F 1 F 2 . Тоді
М = ( М в€© F 1 ) ( M ∩ F 2 ).
Так як безлічі F 1 і F 2 замкнуті в Х , то безлічі М в€© F 1 і M ∩ F 2 замкнуті в М. Але безліч М зв'язно, тобто його не можна розбити на два непорожніх непересічних замкнутих безлічі, тому одне з множин, наприклад M ∩ F 2 , пусте. Тоді
М = М в€© F 1 ГЌ F 1 . €
Аналогічно доводиться
Теорема 1.4. Якщо зв'язне безліч М міститься в об'єднанні двох діз'юнктних відкритих множин Про 1 і Про 2 топологічного простору Х, то воно цілком міститься тільки в одному з множин, що входять в об'єднання.
Теорема 1.5. Нехай f : Х в†’ Y безперервне відображення і f ( X ) = Y . Тоді якщо Х зв'язно, то Y зв'язно.
Доказ від протилежного. Припустимо, що простір Y недоладно. Тоді воно розбивається на два непорожніх відкритих ...
