у загальних аксіом конструктивної геометрій.
У Як елементарних побудов (ЕП) візьмемо такі завдання.
ЕП I. Відкласти на даному промені від його початку відрізок, рівний даному відрізку.
ЕП 2. Відкласти від даного променя в дану напівплощина кут, рівний даному розі. p> ЕП 3. Побудувати трикутник за трьома сторонами. p> ЕП +4. Побудувати трикутник за двома сторонами та кутом між ними. p> ЕП 5. Побудувати трикутник за стороною і двом прилеглим кутах. p> ЕП 6. Побудувати бісектрису даного неразвернутого кута. p> ЕП 7. Побудувати серединний перпендикуляр даного відрізка. p> ЕП 8. Побудувати середину даного відрізка. p> ЕП 9. Побудувати пряму, що проходить через дану точку і перпендикулярну даної прямій. (При цьому дана точка може лежати на даній прямій, може і не лежати на ній).
ЕП 10. Побудувати пряму, що проходить через дану точку і паралельну даної прямій.
ЕП 11. Побудувати прямокутний трикутник по гіпотенузі. p> ЕП 12. Побудувати прямокутний трикутник по гіпотенузі і катету. p> ЕП 13. Побудувати дотичну до кола, що проходить через дану на ній крапку. p> Іноді умовами завдання на побудову задовольняють кілька фігур.
Вирішити задачу на побудову - значить знайти всі її рішення. Пояснимо це визначення. p> Фігури, задовольняють умові завдання, можуть відрізнятися розмірами, формою і положенням на площині. Фігури, що задовольняють умові завдання, що відрізняються розмірами або формою, будемо вважати різними. З розташуванням справа йде так. p> Якщо умову задачі не передбачає певного розташування шуканої фігури відносно даних фігур, то завдання вважається вирішеною, якщо: а) побудовано деяке число нерівних фігур Ф 1 , ..., Ф 2 задовольняють умові завдання, і б) доведено, що всяка фігура, яка задовольнить умові завдання, дорівнює одній з них; вважається, що завдання має n рішень (про точністю до рівності).
Якщо умову задачі передбачає певне розташування шуканої фігури щодо якої-небудь даної фігури, то завдання вважається вирішеною, якщо: а) побудовано деяке число фігур, які відповідають умові завдання, і б) доведено, що будь-яка фігура, яка задовольнить умові завдання, збігається з однією з них. При цьому рівні фігури, але по-різному розташовані, вважаються різними рішеннями. Наведемо приклади. br/>В
Приклад 1 . Побудувати циркулем і лінійкою трикутник за трьома сторонами. Точний зміст: побудувати трикутник так, щоб три його сторони були рівні трьом даними відрізкам. Умова завдання не передбачає певного розташування шуканої фігури відносно даних фігур.
За нашої домовленості рішення такого завдання шукається з точністю до рівності. Так як всі трикутники по трьом сторонам рівні, то задача має одне рішення, якщо сума будь-яких двох сторін більше третьою, і не має рішення, якщо ця умова не виконано.
Приклад 2. Побудувати циркулем і лінійкою трикутник так, щоб однієї його стороною служив даний відрізок АВ, а дві інші його сторони були рівні двом даними відрізкам а й у.
У цьому випадку умова завдання передбачає певне розташування шуканого О”АВС відносно даних фігур. У відповідності з нашим угодою рівні трикутники, що задовольняють умові завдання, але відрізняються розташуванням, будемо вважати різними рішеннями цього завдання.
В
а
в
В
Зауваження . Зустрічаються завдання, що мають нескінченну безліч рішень. Такі завдання називаються невизначеними. Очевидно, всі рішення не можна побудувати. У зв'язку з цим питанням: коли ж вважати невизначену завдання вирішеною?
Рішення невизначеною завдання шукається в параметричної формі: зазначається прийом побудови фігур, які відповідають умові завдання, причому ці фігури визначаються вибором певного положення однієї точки на деякій даної фігурі. Ці точки відіграють роль геометричного параметра. Завдання вважається вирішеною, якщо при всіляких допустимих положеннях довільної точки виникають всі фігури, що задовольняють умові завдання.
Зустрічаються завдання такі, що не існує фігура задовольняють умові завдання. Наприклад, в паралелограм (Не ромб) не можна вписати коло. Не можна провести пряму через 2 дані точки одним лише циркулем.
Під всіх цих випадках вирішити завдання на побудову - значить довести, що шукана фігура не існує, або довести, що вона не може бути побудована даними засобами.
Умова завдання часто дає відомий простір у виборі даних. Наприклад, якщо потрібно побудувати трикутник за трьома сторонами, то даними є три відрізки, які можуть бути довільними за величиною і положенню. Завдання в такій формулюванні вважається вирішеною, якщо вона вирішена для всіх принципово різних припущень щодо вибору даних. p> Може виявитися, що при такому виборі даних завдання вирішується інакше, ніж при іншому їх вибір, тому доводиться розглядати ряд окремих випадків і давати ріше...
