ння завдання для кожного з них. В
Методика рішення задач на побудову
При вирішенні складних завдань основну труднощі представляє питання про те, як знайти спосіб вирішення. Вирішення цього питання полегшується, якщо дотримуватися певної схеми міркувань. Ця схема складається з чотирьох етапів: аналіз, побудова, доказ, дослідження. Зауважимо, що ця класична схема не є, безумовно, необхідною і незмінною. Допустимі відхилення в залежно від завдання.
1. Аналіз . В аналізі ведеться пошук рішення задачі таким чином: припускають завдання вирішеною, будують (від руки) шукану фігуру прилаштовують до неї дані з урахуванням тих відносин, які вказані в умові завдання. Помічають, що побудова шуканої фігури Ф зводиться до побудови іншої фігури Ф 1 , побудова Ф 1 зводять до побудови Ф 2 і т.д. Після кінцевого числа кроків можна прийти до деякої фігурі Ф n , Побудова якої відомо. p> Якщо на допоміжному кресленні не вдасться знайти хід рішення, то доцільно ввеcті в креслення допоміжні фігури: зробити додаткові побудови, зробити геометрічеcкіе перетворення тощо
2. Побудова полягає у вказівці кінцевої послідовності основних побудов (або раніше вирішених завдань), які досить провести, щоб шукана фігура була побудована.
Побудова зазвичай супроводжується графічним оформленням кожного кроку за допомогою зазначених інструментів.
3. Доказ має на меті встановити, що побудована фігура дійсно задовольняє умовою задачі.
Доказ проводиться в припущенні, що кожен крок побудови може бути виконаний.
4. Дослідження . При аналізі, побудові зазвичай обмежуються відшуканням одного якого-небудь рішення, припускаючи здійснимість кроків побудови. Йдучи повного вирішення задачі потрібно з'ясувати:
1) чи завжди (тобто при будь-якому Чи виборі даних) можна виконати побудови обраним способом;
2) чи можна і як побудувати шукану фігуру, якщо для якогось вибору даних зазначений спосіб побудови не придатний;
3) скільки рішень має задача при кожному можливому виборі даних.
Ці питання складають зміст дослідження. Отже, дослідження ставить мету - встановити умови розв'язності і визначити число рішень.
Практично дослідження проводять по ходу побудови, розглядаючи кожен крок побудови на можливість і єдиність.
Однак таке дослідження пов'язане з даним способом побудови. У цьому випадку залишається відкритим питання: чи немає інших рішень при іншому способі рішення. На цей питання відповідають за допомогою вказаного вище прийому: доводять, що довільне рішення даної задачі збігається з одним із вже отриманих рішень.
Для ілюстрації сказаного розглянемо наступний приклад.
Задача . Побудувати трикутник, якщо відомі: довжина підстави а, кут при основі О± і різниця двох інших сторін d.
Рішення . Зауважимо, що в умові завдання не вказані інструменти. B таких випадках будемо вважати (як і в школі), що завдання треба вирішити за допомогою лінійки і циркуля.
В
Аналіз . Пошук рішення задачі проведемо, вважаючи завдання вирішеною. Нехай О”ABC - шуканий трикутник: AB = a, AC-BC = AD = d, = О±. Помічаємо, що О”АВD = визначений за двом сторонам і куту між ними. p> Третя вершина З шуканого трикутника може бути знайдена як точка перетину променя АD і прямої l - серединного перпендикуляра відрізка ВD). Інакше кажучи план вирішення знайдений, отроившейся трикутник О”АВD, а потім і третю вершину С.
Побудова . У цьому пункті реалізуємо план рішення.
Будуємо послідовно:
В
1)
2) l, l - серединний перпендикуляр відрізка BD;
3) C, C = [AD) ∩ l. p> Трикутник АВС - шуканий. p> Доказ . Дійсно, О”АВС задовольняє всім умовам завдання, тому що з побудови
АВ = а, АС - ВС = АD = d, BAD = О±. p> Дослідження . Перевірив кожен крок побудови на здійсненність і єдиність. Перший крок можливий і единственен тоді й тільки тоді, коли 0 <О± <ПЂ. Другий крок можливий і единственен завжди. Третій крок можливий і единственен тоді і тільки тоді, коли О± <а cos О±. Дійсно, якщо d Але повернемося до аналізу. У нас завдання вирішене, припускаючи, що О± лежить проти меншою з двох бічних сторін. Якщо О± лежить проти більшої сторони, то попередній метод побудови не проходить. Як бути? По теорії ми повинні і для цього випадку дати рішення. Неважко переконатися, що О”ABF визначений (a, d і кут ПЂ - О±). Побудова, доказ і дослідження провoдятcя так ж, як і вище.
Необхідно ще з'ясувати: вcе чи рішення знайдені. Так, все, тому що якщо б ...
