Геометричні побудови на площині
Введення
Вам, майбутнім вчителям, у шкільному курсі математики доведеться вчити хлопців рішенням задач на побудову. Доцільність цієї діяльності обумовлена ​​тим, що задачі на побудову розвивають конструктивне і логічне мислення, прищеплюють навички дослідника. Тому ці задачі складають важливу частину шкільного курсу геометрії.
Загальні аксіоми конструктивної геометрії. Аксіоми математичних інструментів
Розділ геометрії, в якому вивчаються геометричні побудови, називається конструктивної геометрією.
Основним поняттям конструктивної геометрії є поняття побудувати геометричну фігуру.
Це поняття приймається без визначення, конкретний його сенс відомий з практики, де воно означає: накреслити, провести (лінію), відзначити (точку). В інтересах логічної строгості викладу основне поняття конструктивної геометрії - побудувати фігуру - характеризується через основні вимоги (загальні аксіоми конструктивної геометрії).
Ці вимоги зазвичай не формулюються в межах шкільного курсу геометрії, але вони маються на увазі в процесі вирішення будь-якої геометричної задачі на побудову як щось само собою зрозуміле. Загальні аксіоми конструктивної геометрії виражають у aабстрактной формі найбільш істотні моменти багатовікової креслярської практики і складають логічну основу конструктивної геометрії.
Розглянемо ці загальні аксіоми теорії геометрії.
I. Кожна дана фігура побудована, т.у. якщо про будь фігурі сказано, що вона дана, то під цим мається на увазі, що вона вже зображена, накреслена, по-іншому кажучи, побудована. p> 2. Якщо дано дві фігури, то збудовано:
а) їх об'єднання
б) перетин (якщо воно непорожньо)
в) різницю (якщо вона не дорівнює порожній множині)
3. Якщо дана деяка фігуpa, то можна побудувати точку:
а) приналежну даної фігурі
б) приналежну їй.
Зауваження . Аксіоми За і 3б дають можливість побудувати нові точки, але цим крапка не приписують ніяких властивостей. Для побудови нових точок, що володіють певними властивостями, користуються математичними інструментами: лінійкою, циркулем, кутом і т.д. Властивості зазначених математичних інструментів описуються за допомогою відповідних аксіом. При цьому слід чітко бачити різницю між математичним інструментом конструктивної геометрії та їх фізичним уособленням.
Аксіома лінійки . Лінійка (Одностороння) дозволяє побудувати пряму, що проходить через дві дані точки. p> Аксіома циркуля . Циркуль дозволяє побудувати коло з центром в даній точці і радіусом, рівним довжині даного відрізка.
Аксіоми двосторонньої лінійки . Двостороння лінійка дозволяє: а) виконати будь-яка побудова, здійсненне лінійкою;
б) у кожній з півплощини, що визначаються побудованої прямої, побудувати пряму, паралельну цій прямій і проходить від неї на відстані h, де h - фіксований елемент для даної двосторонньої лінійки (ширина); p> в) якщо побудовано дві точки А і В, то встановити, чи буде АВ> h, і якщо AB> H, то побудувати 2 пари паралельних прямих, що проходять відповідно через А і В і віддалених одна від одної на відстані h,
В
В
Аксіоми кута . Кут дозволяє: а) зробити все побудови, здійснимі лінійкою, б) через дану точку площини провести під кутом О± до деякої даної прямої; в) якщо побудовані відрізок АВ і фігура ф, то встановити, чи містить фігура Ф точку, з якої відрізок АВ видно під кутом О±, і якщо така існує, то побудувати її.
Постановка завдання на побудову
Задача на побудову полягає, в тому, що потрібно побудувати зазначеними інструментами фігуру, якщо дана деяка інша фігура і зазначені деякі співвідношення між елементами шуканої фігури і даної.
Кожна фігура, яка задовольнить умові завдання, називається рішенням завдань.
Побудови, про можливість яких надано в аксіомі 3, разом з побудовами, перерахованими в аксіомах математичних інструментів, назвемо основними побудовами (ОП).
Знайти рішення задачі на побудову - значить вказати кінцеву послідовність основних побудов, після виконання яких шукана фігура буде вважатися побудованої в силу прийнятих аксіом конструктивної геометрії.
Перелік основних побудов, а отже, й хід розв'язання задачі, залежить від уживаного набору інструментів. Слід зауважити, що такий підхід в визначенні знаходження рішення не раціонально. Іноді доцільніше укрупнити кроки побудови.
Розглядають як крок побудови цілі блоки основних побудов. Ці блоки представляють собою рішення елементарних завдань на побудову. Їх назвемо елементарними побудовами. Тоді можна дати таке визначення. p> Вирішити задачу на побудову - це означає вказати таку кінцеву послідовність основних (ОП) і елементарних побудов (ЕП), після виконання яких шукана фігура може вважатися побудованої в сил...
